📖 层流和湍流
1普朗特边界层理论
当欧拉方程建立的时候，人们并没有充分认识到流体黏性的重要性，而认为欧拉方程是足够精确的。然而有人却发现，从欧拉方程出发，可以推导出任意三维物体与流体之间的作用力为零的结论，这显然是与实际不相符的。这个问题是达郎贝尔首先提出来的，通常称为达郎贝尔悖论。直到1904年，普朗特
提出了边界层的概念并建立了相关理论，才从根本上解释了达郎贝尔悖论产生的原因，并使流体力学真正成为了一门有用的学科。因此，边界层理论被认为是近代流体力学发展最重要的里程碑。
这里所说的边界层，是指固体壁面附近很薄的一层区域，也称为附面层。在这个区域内，受壁面的无滑移条件和外流的速度条件控制，流体产生了较强的法向速度梯度，黏性力不可忽略。而在此薄层之外的流场中，因速度梯度较小，黏性力通常可以忽略。图1表示了空气流过一个流线型物体时在壁面附近显著受黏性影响的区域以及这个区域内的速度分布。
图1 机翼附近的流动以及受黏性影响的区域的大小
普朗特根据一般流动中黏性只影响近壁很小一个区域的特点提出了边界层的概念，认为黏性只影响近壁区域，在此之外的区域（一般称为主流区或外流区）黏性力完全可以忽略不计。由边界层很薄的特性又可以对N-S方程进行简化，得到精确度满足工程需要的边界层方程。这样，一般的问题就由无法求解的N-S方程转化成了可以求解的边界层方程和势流方程，这就是普朗特边界层理论的重大意义所在。
对于具体的流动，虽然由于壁面剪切力的阻碍使得靠近壁面处的流体沿流向的速度变得越来越低，导致一部分流体被向外排挤，不再平行于壁面流动。但是由于边界层的厚度本来就很小，其沿流动方向的增长量也就很小，这种排挤作用基本可以忽略，认为边界层内部的流体都是平行壁面流动，而不存在沿壁面法向的速度。因此，N-S方程可以简化成边界层方程的决定性条件就是边界层必须足够薄，或表示为
\[\delta \ll L\]
式中：𝜹为边界层厚度；𝑳为为沿流向的长度。
那么，为什么边界层会很薄呢？当然是因为黏性的影响范围小。流动中表征黏性力大小的是雷诺数，黏性影响小就意味着雷诺数大。事实上正是如此，只有当雷诺数比较大时，边界层厚度才会很小，所以也可以说：边界层理论成立的条件是雷诺数足够大。
2普朗特边界层方程
我们下面将根据上述条件，通过量纲分析来从N-S方程简化得到边界层方程。普朗特的边界层理论是针对二维流动提出的，为了清晰，我们这里将针对二维、定常、忽略体积力、不可压缩流动进行推导。
连续方程：
\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\]
（1）
动量方程：
\[\begin{align}
& u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\ \\
& u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\
\end{align}\]
（2）
针对如图2所示的平板边界层物理模型，有经过顺流向放置的平板的均匀来流的速度𝑼，从平板前缘算起的距离𝑳，边界层厚度𝜹三个量。这三个量可以做为相关量大小的度量，即
\[u\sim U,\quad x\sim L,\quad y\sim \delta \]
图2 平板边界层流动模型
将连续方程中各变量用上述参考量表示，可得
\[\frac{U}{L}+\frac{v}{\delta }\sim 0\]
从而可以得到边界层内法向速度𝒗的大小可以度量为
\[v\sim \frac{\delta }{L}U\]
根据\(\delta \ll L\)的条件，从上式还可以发现一个关系，即\(v \ll u\)，或者说边界层内流体的法向速度相比流向速度可以忽略，因此边界层内的流动可以看作是沿壁面的平行流动。
下面把式（2）中的各项用度量其大小的参考量表示出来：
\[u\frac{\partial u}{\partial x}\xrightarrow{{}}U\frac{U}{L}=\frac{{{U}^{2}}}{L}\]
\[v\frac{\partial u}{\partial y}\xrightarrow{{}}\frac{\delta }{L}U\cdot \frac{U}{\delta }=\frac{{{U}^{2}}}{L}\]
\[u\frac{\partial v}{\partial x}\xrightarrow{{}}U\frac{\frac{\delta }{L}U}{L}=\frac{\delta }{L}\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L}\]
\[v\frac{\partial v}{\partial y}\xrightarrow{{}}\frac{\delta }{L}U\cdot \frac{\frac{\delta }{L}U}{\delta }=\frac{\delta }{L}\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L}\]
\[-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\]
这一项属于边界条件，实际流动中已知。
\[-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\]
这一项暂时未知。
\[\begin{split}
& \frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}} \right)\xrightarrow{{}}\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}} \right) \\
& =\frac{\mu }{\rho UL}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{Re}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}} \right) \\
& \xrightarrow{{}}\frac{1}{Re}UL\frac{U}{{{L}^{2}}}=\frac{1}{Re}\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L} \\
\end{split}\]
\[\begin{align}
& \frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)\xrightarrow{{}}\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\
& =\frac{\mu }{\rho UL}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)=\frac{1}{Re}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\
& \xrightarrow{{}}\frac{1}{Re}UL\frac{U}{{{\delta }^{2}}}=\frac{1}{Re}\cdot \frac{{{L}^{2}}}{{{\delta }^{2}}}\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L} \\
\end{align}\]
\[\begin{align}
& \frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{x}^{2}}} \right)\xrightarrow{{}}\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{x}^{2}}} \right) \\
& =\frac{\mu }{\rho UL}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{Re}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{x}^{2}}} \right) \\
& \xrightarrow{{}}\frac{1}{Re}UL\frac{\frac{\delta }{L}U}{{{L}^{2}}}=\frac{1}{Re}\cdot \frac{\delta }{L}\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L} \\
\end{align}\]
\[\begin{align}
& \frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{y}^{2}}} \right)\xrightarrow{{}}\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\
& =\frac{\mu }{\rho UL}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{y}^{2}}} \right)=\frac{1}{Re}UL\left( \frac{{{\partial }^{2}}v}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\
& \xrightarrow{{}}\frac{1}{Re}UL\frac{\frac{\delta }{L}U}{{{\delta }^{2}}}=\frac{1}{Re}\cdot \frac{L}{\delta }\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L} \\
\end{align}\]
之前我们曾经通过定性分析得出了边界层厚度很薄一定对应着雷诺数很大的结论，现在来定量地看一下雷诺数应该有多大。在边界层内部，紧挨壁面处的黏性力应该和当地的惯性力的量级相同，才能保证流动的平衡。根据前面对𝒙向的动量方程的量纲分析可知，惯性力与黏性力的大小可以分别表示为
惯性力：
\[u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\xrightarrow{{}}\frac{{{U}^{2}}}{L}\]
黏性力：
\[\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)\xrightarrow{{}}\frac{1}{Re}\cdot \frac{{{L}^{2}}}{{{\delta }^{2}}}\cdot \frac{{{U}^{2}}}{L}\]
让这两项相等，则有
\[\frac{\delta }{L}\sim \frac{1}{\sqrt{Re}}\]
可见，如果有\(\delta \ll L\)，则必有\(Re \ll 1\)。
把这个公式代入上面的量纲分析中，消去雷诺数，就可以得出各项的大小关系了，把它们对应地写在式（2）中各项旁，表示如下：
上式中，若以𝒙方向的惯性力为标准，其大小为\(U^2/L \)，则凡是有\(\delta /L \)与之相乘的量都为小量，忽略这些项，原方程简化为
\[\begin{split}
& u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right) \\
& \frac{\partial p}{\partial y}=0 \\
\end{split}\]
可见，在边界层中，𝒚方向的动量方程蜕化为简单的关系式\({\partial p}/{\partial y}=0\)，或者描述为：边界层内的压力沿壁面法向保持不变。于是压力就只与𝒙有关，𝒙方向的动量方程中的压力梯度项就可以写为常微分形式：
\[u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\text{d}P}{\text{d}x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)\]
（3）
其中的压力𝑷用大写，表示它是边界层外界处的压力。
式（3）是定常不可压缩层流的边界层方程，因其是普朗特首先提出来的，所以又叫普朗特边界层方程。由于推导过程中只应用了\(\delta \ll L \)的条件，并不要求必须有壁面，因此这个方程也适用于其他薄剪切层流动，有时称为二维薄剪切层方程。
式（3）中的压力是指边界层外界处的压力，此处的流动为无黏流动，满足欧拉方程，可以将压力的变化用速度的变化来表示。外界的流动近似为一维流动，不计体积力的欧拉方程为
\[U\frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{1}{\rho }\frac{\text{d}P}{\text{d}x}\]
因此，边界层方程（3）还可以写为
\[u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=U\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)\]
（4）
与N-S方程相比，边界层方程要简单多了，但非线性项（惯性力项）仍然存在，求解还是要费一番功夫的。与N-S方程一样，边界层方程也只有在有限的特定条件下可以得到解析解，对于其中最简单的顺流向放置的平板层流边界层，普朗特的学生布拉修斯（Heinrich Blasius，1883—1970）在1908 年得到了准解析解。这个解是基于上述的边界层方程得出的，其正确性也得到了实验的验证。
需要注意的是，布拉修斯解虽然号称是层流边界层的精确解，但只有在比较大的雷诺数下才较为精确。对于雷诺数小，比如黏性很大的流动，边界层的厚度较大，边界层方程本身就不再有效，布拉修斯解也就无从谈起了。即使对于黏性较小的空气和水，并且流速也不太低，在平板刚开始的一段区域，也不满足\(\delta \ll L \)和\(Re \ll 1 \)，边界层方程也是不成立的。因此，各种边界层解法得出的结果在边界层刚一开始的部分都是不能用的，这些解的边界层厚度在前缘处都是从零开始逐渐增加，而事实上流体从一开始遇到壁面，就马上有一定的边界层厚度。
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相关知识 👇
（Ludwig Prandtl, 1875—1953）