📖 能量方程
能量方程就是热力学第一定律，推导过程可见热力学第一定律部分，对于一维流动来说，关系式如下
✵ 积分形式：
\[q-{{w}_{\text{s}}}={{c}_{\text{v}}}\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)+\left( \frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}-\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}} \right)+g\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)+\frac{1}{2}\left( {{V}_{2}}^{2}-{{V}_{1}}^{2} \right)\]
（1）
\[q-{{w}_{\text{s}}}=\left( {{h}_{2}}-{{h}_{1}} \right)+g\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)+\frac{1}{2}\left( {{V}_{2}}^{2}-{{V}_{1}}^{2} \right)\]
（2）
✵ 微分形式：
\[\delta q-\delta {{w}_{\text{s}}}={{c}_{\text{v}}}\text{d}T+\text{d}\left( \frac{p}{\rho } \right)+g\text{d}z+\frac{1}{2}\text{d(}{{V}^{2}})\]
（3）
\[\delta q-\delta {{w}_{\text{s}}}=\text{d}h+g\text{d}z+\frac{1}{2}\text{d(}{{V}^{2}})\]
（4）
这里我们将进一步推导针对三维流动的能量方程。
1积分形式的能量方程
体系的热力学第一定律的一般形式为
\[\frac{\text{D}}{\text{D}t}\iiint\limits_{\text{sys}}{\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}+\frac{{{V}^{2}}}{2} \right)\rho \text{d}B}={{\dot{Q}}_{\text{in}}}-{{\dot{W}}_{\text{out}}}\]
（5）
式中：\({\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}}\)为单位质量流体的内能。\({{\dot{Q}}_{\text{in}}}\)为体系从外界吸取的热量；\({{\dot{W}}_{\text{out}}}\)为体系对外界做的功。
2微分形式的能量方程
取如图1所示的一个六面体流体微元，热量通过传导从六个面进出该微元。定义热流量为单位时间单位面积通过的热量，它满足傅里叶定律：
\[{{\dot{q}}_{n}}=-\lambda \frac{\partial T}{\partial n}\]
图1 进出流体微团的热量
在与𝒙轴垂直的两个面上，假设左侧面流入的热流量为\({{\dot{q}}_{\text{left}}}={{\dot{q}}_{x}}\)，则右侧面流出的热流量可以表示为
\[{{\dot{q}}_{\text{right}}}={{\dot{q}}_{x}}+\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{x}}}{\partial x}\text{d}x\]
单位时间内从这两个面净流入微元的热量为
\[{{\dot{Q}}_{x}}=\left( {{{\dot{q}}}_{\text{left}}}-{{{\dot{q}}}_{\text{right}}} \right)\text{d}y\text{d}z=-\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{x}}}{\partial x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
同理，单位时间内从另外两对面上净流入微元的热流量分别为
\[{{\dot{Q}}_{y}}=-\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{y}}}{\partial y}\text{d}x\text{d}y\text{d}z,\qquad {{\dot{Q}}_{z}}=-\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{z}}}{\partial z}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
从各个面通过热传导进入微元体的总热量为
\[{{\dot{Q}}_{\text{conduction}}}={{\dot{Q}}_{x}}+{{\dot{Q}}_{y}}+{{\dot{Q}}_{z}}=-\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{x}}}{\partial x}\text{+}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{y}}}{\partial y}\text{+}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{z}}}{\partial z} \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
应用傅里叶定律，该式可以写成：
\[{{\dot{Q}}_{\text{conduction}}}=\left[ \frac{\partial }{\partial x}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right)\text{+}\frac{\partial }{\partial y}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right)\text{+}\frac{\partial }{\partial z}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \right) \right]\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
微元体从外界吸收的热量除了通过各个面的导热之外，还包括辐射换热。设单位时间单位质量流体接受的辐射换热为\(\dot{q}_\text{rad}\)，则微元体接受的总辐射换热为
\[{{\dot{Q}}_{\text{radiation}}}={{\dot{q}}_{\text{rad}}}\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
因此，微元体从外界接受到的总热量为
\[\begin{align}
\dot{Q} & ={{{\dot{Q}}}_{\text{conduction}}}+{{{\dot{Q}}}_{\text{radiation}}} \\ \\
& =\left[ \frac{\partial }{\partial x}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right)\text{+}\frac{\partial }{\partial y}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right)\text{+}\frac{\partial }{\partial z}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \right)+\rho {{{\dot{q}}}_{\text{rad}}} \right]\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
\end{align}\]
（6）
下面我们来看微元体对外做的功。体积力做功比较简单，单位时间内微元体的体积力对外做功为
\[\begin{align}
{{{\dot{W}}}_{\text{body}}} & =-\left( {{{\vec{f}}}_{\text{b}}}\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z \right)\cdot \vec{V} \\ \\
& =-\left( {{f}_{\text{b},x}}\vec{i}+{{f}_{\text{b},y}}\vec{j}+{{f}_{\text{b},z}}\vec{k} \right)\cdot \left( u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k} \right)\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z \\ \\
& =-\left( {{f}_{\text{b},x}}u+{{f}_{\text{b},y}}v+{{f}_{\text{b},z}}w \right)\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
\end{align}\]
（7）
这个公式里面有负号是因为这里的体积力是指外界对微元体的力，速度是微元体的速度，因此得出的功也是外界对微元体做的功。
表面力做功稍复杂些，如图2所示，单位时间内在各个表面上微元体对外做的功为当地的力与当地速度的乘积，在与𝒙轴垂直的两个面上，左侧表面力做功为
图2 微元体通过表面力对外做的功
\[{{\dot{W}}_{\text{left}}}=\left( {{{\vec{\Gamma }}}_{x}}\text{d}y\text{d}z \right)\cdot {{\vec{V}}_{x}}={{\vec{\Gamma }}_{x}}\cdot {{\vec{V}}_{x}}\text{d}y\text{d}z\]
在左侧面上，以拉力为正，微元体对外的作用力与速度方向相同，做功为正。
右侧面的表面力对外做功为
\[{{\dot{W}}_{\text{right}}}=-{{\vec{\Gamma }}_{x}}\cdot {{\vec{V}}_{x}}\text{d}y\text{d}z-\frac{\partial \left( {{{\vec{\Gamma }}}_{x}}\cdot {{{\vec{V}}}_{x}} \right)}{\partial x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
在右侧面上，以拉力为正，微元体对外的作用力与速度方向相反，做功为负。
左右两个面的表面力对外做的总功为
\[{{\dot{W}}_{\text{surf},x}}={{\dot{W}}_{\text{left}}}+{{\dot{W}}_{\text{right}}}=-\frac{\partial \left( {{{\vec{\Gamma }}}_{x}}\cdot {{{\vec{V}}}_{x}} \right)}{\partial x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
将表面力写成应力形式，速度使用分量形式，则有
\[{{\dot{W}}_{\text{surf},x}}=-\frac{\partial }{\partial x}\left( {{\tau }_{xx}}u+{{\tau }_{xy}}v+{{\tau }_{xz}}w \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
同理可得另外两对面上流体微元对外做的功分别为
\[{{\dot{W}}_{\text{surf},y}}=-\frac{\partial }{\partial y}\left( {{\tau }_{yx}}u+{{\tau }_{yy}}v+{{\tau }_{yz}}w \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
\[{{\dot{W}}_{\text{surf},z}}=-\frac{\partial }{\partial z}\left( {{\tau }_{zx}}u+{{\tau }_{zy}}v+{{\tau }_{zz}}w \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
从而表面力对外做的总功为
\[\begin{align}
{{{\dot{W}}}_{\text{surface}}} = & -\frac{\partial }{\partial x}\left( {{\tau }_{xx}}u+{{\tau }_{xy}}v+{{\tau }_{xz}}w \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
& -\frac{\partial }{\partial y}\left( {{\tau }_{yx}}u+{{\tau }_{yy}}v+{{\tau }_{yz}}w \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
& -\frac{\partial }{\partial z}\left( {{\tau }_{zx}}u+{{\tau }_{zy}}v+{{\tau }_{zz}}w \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
\end{align}\]
（8）
微元体的能量由内能和动能组成，其变化为
\[\frac{\text{D}e}{\text{D}t}\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\rho \frac{\text{D}}{\text{D}t}\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}+\frac{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}+{{w}^{2}}}{2} \right)\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
（9）
将微元体与外界的热量交换式（6）、体积力做功式（7）、表面力做功式（8）和微元体能量变化（9）代入热力学第一定律中，得
\[\begin{align}
\rho \frac{\text{D}}{\text{D}t}\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}+\frac{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}+{{w}^{2}}}{2} \right) & =\rho \left( {{f}_{\text{b},x}}u+{{f}_{\text{b},y}}v+{{f}_{\text{b},z}}w \right) \\
& +\frac{\partial \left( u{{\tau }_{xx}} \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( u{{\tau }_{yx}} \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( u{{\tau }_{zx}} \right)}{\partial z} \\
& +\frac{\partial \left( v{{\tau }_{xy}} \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( v{{\tau }_{yy}} \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( v{{\tau }_{zy}} \right)}{\partial z} \\
& +\frac{\partial \left( w{{\tau }_{xz}} \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( w{{\tau }_{yz}} \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( w{{\tau }_{zz}} \right)}{\partial z} \\
& +\frac{\partial }{\partial x}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right)\text{+}\frac{\partial }{\partial y}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right)\text{+}\frac{\partial }{\partial z}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \right)+\rho {{{\dot{q}}}_{\text{rad}}} \\
\end{align}\]
（10）
该式可以写成较为简洁的矢量形式：
\[\rho \frac{\text{D}}{\text{D}t}\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}+\frac{{{V}^{2}}}{2} \right)=\rho {{\vec{f}}_{\text{b}}}\cdot \vec{V}+\nabla \cdot \left( \vec{V}\cdot {{\tau }_{ij}} \right)+\nabla \left( \lambda \nabla T \right)+\rho {{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（11）
或者张量形式：
\[\rho \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}+\frac{{{u}_{i}}{{u}_{i}}}{2} \right)=\rho {{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( {{\tau }_{ij}}{{u}_{j}} \right)+\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+\rho {{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（12）
式（10），式（11）和式（12）就是微分形式的能量方程，其中式（12）中各项的含义如下：
\(\rho \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}+\frac{{{u}_{i}}{{u}_{i}}}{2} \right)\) —— 流体微团总能量（包含内能和动能）的变化
\(\rho {{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}\) —— 体积力对流体微团做的功
\(\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( {{\tau }_{ij}}{{u}_{j}} \right)\) —— 表面力（压力和粘性力）对流体微团做的功
\(\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( {{\tau }_{ij}}{{u}_{j}} \right)\) —— 流体微团通过热传导从外界接受的热量
\(\rho {{\dot{q}}_{\text{rad}}}\) —— 流体微团通过辐射从外界接受的热量
式（12）是总能量方程，总能量由内能和动能两部分组成，内能由温度体现，动能由宏观速度体现。实际上，在很多流动中，这两部分能量应该分开考虑更好理解一些。例如，在无黏不可压缩流动中，机械能是守恒的，当流动为可压缩时，机械能就不守恒，会通过压缩功向内能转化。
为了能分别分析动能和内能的变化，我们需要把动能方程和内能方程单独写出来，下面我们就来分别推导动能方程和内能方程。
把𝒙方向的动量方程写出如下：
\[\frac{\text{d}u}{\text{d}t}={{f}_{\text{b},x}}+\frac{1}{\rho }\left( \frac{\partial {{\tau }_{xx}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zx}}}{\partial z} \right)\]
在公式两边都乘以𝒙方向的速度𝒖，可得
\[u\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=u{{f}_{\text{b},x}}+\frac{1}{\rho }\left( u\frac{\partial {{\tau }_{xx}}}{\partial x}+u\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}+u\frac{\partial {{\tau }_{zx}}}{\partial z} \right)\]
（13）
式（13）的左端就是𝒙方向速度分量代表的动能随时间的变化：
\[u\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\left( {{{u}^{2}}}/{2}\; \right)}{\text{d}t}\]
三个速度分量代表的动能之和为总的动能变化：
\[\frac{\text{d}\left( {{{u}_{i}}{{u}_{i}}}/{2}\; \right)}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\left( {{{V}^{2}}}/{2}\; \right)}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\left( {{{u}^{2}}}/{2}\;+{{{v}^{2}}}/{2}\;+{{{w}^{2}}}/{2}\; \right)}{\text{d}t}\]
式（13）的右端为𝒙方向的力所做的功，将三个方向的功加起来，可得
\[\rho \frac{\text{d}\left( {{{u}_{i}}{{u}_{i}}}/{2}\; \right)}{\text{d}t}=\rho {{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}+{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{{{x}_{i}}}\]
（14）
这就是微分形式的动能方程。可以看出，有两种因素能引起动能的变化：一个是体积力做功，一个是表面力做功。
从总能量方程（12）中减去动能方程（14），得
\[\rho \frac{\text{d}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}}{\text{d}t}={{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{{{x}_{i}}}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+\rho {{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（15）
这就是微分形式的内能方程。下面，我们对动能方程和内能方程做进一步的分析，深入理解流体中动能和内能的变化规律。
第一，所有的热量交换项都只出现在内能方程中：
\(\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+\rho {{\dot{q}}_{\text{rad}}}\) —— 流体微团从外界获取的热量
这说明流体与外界的热量交换只会影响其内能，对其宏观运动速度不会产生任何影响。虽然对汽缸加热会使气体膨胀推动活塞运动，但宏观动能增加的原因是表面力做功导致的内能向动能的转化（即膨胀功），直接体现在表面力项中，并不是加热本身的结果。
第二，体积力项只出现在动能方程中：
\(\rho {{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}\) —— 流体微团通过体积力与外界交换的功
这说明体积力只会导致流体动能的变化，对其内能（温度）不会产生任何影响。虽然物体在大气中下落会发生温度升高现象，那是其与周围空气的摩擦和压缩的结果，属于表面力做功导致的动能向内能的转化，与重力做功本身无关。
第三，表面力（压力和黏性力）既出现在动能方程中，也出现在内能方程中：
\({{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{\partial {{x}_{i}}}\) —— 引起动能变化的表面力功
\({{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}\) —— 引起内能变化的表面力功
当流体从高压区流向低压区的时候，其速度是增加的，这是表面力引起的动能变化。流动过程中各部分流体之间由于黏性作用而产生摩擦和掺混，使内能增加，这是表面力引起的内能变化。鉴于表面力做功的复杂性，我们有必要专门对其进行具体分析。
结合总能量方程，可以看出表面力对体系做的功分为两项：
\[\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( {{\tau }_{ij}}{{u}_{j}} \right)={{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{\partial {{x}_{i}}}+{{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}\]
（16）
该式中的左端为表面力对微元做的总功，右端两项中，第一项只出现在动能方程中，第二项只出现在内能方程中。
对于式（16）中的右端第一项，展开后得
\[\begin{align}
{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{\partial {{x}_{i}}} & =u\left( \frac{\partial {{\tau }_{xx}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zx}}}{\partial z} \right) \\
& +v\left( \frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yy}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zy}}}{\partial z} \right) \\
& +w\left( \frac{\partial {{\tau }_{xz}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yz}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zz}}}{\partial z} \right) \\
\end{align}\]
上式中，右端分为三部分，分别为表面应力推动微元体沿三个坐标方向平动所做的功，具体如下：
\(u\left( \frac{\partial {{\tau }_{xx}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zx}}}{\partial z} \right)\) —— 𝒙向表面力推动微团沿𝒙向平动所做的功
\(v\left( \frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yy}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zy}}}{\partial z} \right)\) —— 𝒚向表面力推动微团沿𝒚向平动所做的功
\(w\left( \frac{\partial {{\tau }_{xz}}}{\partial x}+\frac{\partial {{\tau }_{yz}}}{\partial y}+\frac{\partial {{\tau }_{zz}}}{\partial z} \right)\) —— 𝒛向表面力推动微团沿𝒛向平动所做的功
因此，三项之和的含义为流体微团做平动时表面力做的功。
式（16）中的第二项展开可得
\[\begin{align}
{{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}} & =\left( {{\tau }_{xx}}\frac{\partial u}{\partial x}+{{\tau }_{yx}}\frac{\partial u}{\partial y}+{{\tau }_{zx}}\frac{\partial u}{\partial z} \right) \\
& +\left( {{\tau }_{xy}}\frac{\partial v}{\partial x}+{{\tau }_{yy}}\frac{\partial v}{\partial y}+{{\tau }_{zy}}\frac{\partial v}{\partial z} \right) \\
& +\left( {{\tau }_{xz}}\frac{\partial w}{\partial x}+{{\tau }_{yz}}\frac{\partial w}{\partial y}+{{\tau }_{zz}}\frac{\partial w}{\partial z} \right) \\
\end{align}\]
该式表示了表面应力与应变率的乘积，因此该项的含义为
\({{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}\) —— 流体微团做变形运动时表面力做的功
根据流体微团的运动，流体的形变有线变形和剪切变形两种，表面力通过这两种形变做的功将导致内能的变化，如果流体与外界是绝能的，则形变的效果是机械能与内能之间的转化。
把应力和应变联系起来的关系式是流体的本构方程，对于牛顿流体，根据本构方程，把表面应力中的压力与黏性力项分开可得
\[\begin{align}
{{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}} & =-p\left( \nabla \cdot \vec{V} \right)-\frac{2}{3}\mu {{\left( \nabla \cdot \vec{V} \right)}^{2}} \\
& +2\mu {{\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}^{2}}+2\mu {{\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right)}^{2}}+2\mu {{\left( \frac{\partial w}{\partial z} \right)}^{2}} \\
& +\mu {{\left( \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \right)}^{2}}+\mu {{\left( \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} \right)}^{2}}+\mu {{\left( \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \right)}^{2}} \\
\end{align}\]
（17）
上式中，右端第二项：
\[-\frac{2}{3}\mu {{\left( \nabla \cdot \vec{V} \right)}^{2}}\]
是黏性正应力做的体积功，相较其他项来说它非常小，一般是可忽略的。所以式（17）可以进一步写成如下的形式：
\[{{\tau }_{ij}}\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}=-p(\nabla \cdot \vec{V})+{{\Phi }_{\text{v}}}\]
（18）
该式中右端第一项的意义为
\(-p(\nabla \cdot \vec{V})\) —— 流体微团体积改变时压力做的功（即体积功）
当微元体被压缩时，外界对微元体做功，该项为正，表示机械能向内能的转化。当膨胀时，微元体对外做功，该项为负，表示内能向机械能的转化。也就是说这一项表示的内能与机械能之间的转化是完全可逆的。
式（18）中右端第二项为黏性应力在流体微团变形时所做的功：
\[\begin{align}
{{\Phi }_{\text{v}}} & =2\mu {{\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}^{2}}+2\mu {{\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right)}^{2}}+2\mu {{\left( \frac{\partial w}{\partial z} \right)}^{2}} \\
& +\mu {{\left( \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \right)}^{2}}+\mu {{\left( \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} \right)}^{2}}++\mu {{\left( \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \right)}^{2}} \\
\end{align}\]
（19）
该式中所有项都是平方项，所以可知𝜱𝐯永远为正。也就是说，这一项只会引起内能的增加，当与外界绝能时流体的机械能将不可逆地转化为内能。因此𝜱𝐯又被称为黏性耗散项，表示黏性力引起的机械能损失。
另外，从粘性耗散项𝜱𝐯的表达式可以看出，这里面的变形包含了线变形和剪切变形，并不包含旋转。这是因为我们在推导微分形式的角动量方程的时候已经证明了，无穷小的流体微团上所受的力矩为零。所以即使微团有角速度，也没有针对旋转所做的功。
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