📖 气体动力学函数
1总静参数函数
在“气流的滞止参数”中，给出了气流滞止参数（总参数）和静参数之间的关系，它们之间的关系只取决于马赫数𝑴𝒂和比热比𝜸。由于马赫数受气流静温的影响，而气流的静温在流动过程中总是在变化，所以通过临界状态引入了速度系数的概念。把用速度系数𝝀来表示了各种气体动力学函数关系式称为气体动力学函数，使用它们可以使计算更为方便，这些函数中最基础的就是总静参数的关系，即温比函数、压比函数和密度比函数。
把速度系数与马赫数的关系带入到用马赫数表示的函数中，可以得到总静参数函数如下
\[\tau \left( \lambda \right) = \frac{T}{{{T_{\text{t}}}}} = 1 - \frac{{\gamma - 1}}{{\gamma + 1}}{\lambda ^2}\]
（1）
\[\pi \left( \lambda \right) = \frac{p}{{{p_{\text{t}}}}} = {\left( {1 - \frac{{\gamma - 1}}{{\gamma + 1}}{\lambda ^2}} \right)^{\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}}}\]
（2）
\[\varepsilon \left( \lambda \right) = \frac{\rho }{{{\rho _{\text{t}}}}} = {\left( {1 - \frac{{\gamma - 1}}{{\gamma + 1}}{\lambda ^2}} \right)^{\frac{1}{{\gamma - 1}}}}\]
（3）
用速度系数代替马赫数的一个好处是可以画出完整的变化曲线，图1给出了这些曲线，它们都是单调递减的关系，并且在低速时都接近于 1 且变化较为平缓。
图1 总静参数气动函数
当气流速度达到声速时，气体的状态参数称为临界参数，临界参数与总参数之比是个常数，令（1）~（3）中的\(\lambda = 1\)，可得
\[\frac{{{T_{{\text{cr}}}}}}{{{T_{\text{t}}}}} = \frac{2}{{\gamma + 1}}\]
\[\frac{{{p_{{\text{cr}}}}}}{{{p_{\text{t}}}}} = {\left( {\frac{2}{{\gamma + 1}}} \right)^{\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}}}\]
\[\frac{{{\rho _{{\text{cr}}}}}}{{{\rho _{\text{t}}}}} = {\left( {\frac{2}{{\gamma + 1}}} \right)^{\frac{1}{{\gamma - 1}}}}\]
对于空气，取\(\gamma = 1.4\)，\({{{T}_{\text{cr}}}}/{{{T}_{\text{t}}}}\;\approx 0.8333\)，\({{{p}_{\text{cr}}}}/{{{p}_{\text{t}}}}\;\approx 0.5283\)，\({{{\rho }_{\text{cr}}}}/{{{\rho }_{\text{t}}}}\;\approx 0.6339\)。举例来说，如果有一个压力罐通过一个收缩喷口向大气排气，当罐中空气的绝对压力大于\({1}/{0.5283}\;\approx 1.893\)个大气压时，喷口可以达到临界状态，即速度达到声速。
2流量函数
对于可压缩流动，密度不再是常数，用流量公式\(\dot{m}=\rho VA\)计算流量就不太方便了。对于绝能等熵流动，总温和总压沿流线保持为常数，用它们来计算流量更方便一些，因此定义了一个只由𝑴𝒂或𝝀决定的流量函数来计算流量。
变换一下流量公式
\[\dot{m}=\rho VA=\frac{\rho V}{{{\rho }_{\text{cr}}}{{V}_{\text{cr}}}}{{\rho }_{\text{cr}}}{{V}_{\text{cr}}}A\]
临界速度𝑽𝐜𝐫也就是临界声速𝒄𝐜𝐫，只与气体的总温有关。而临界密度只与气体的总密度有关，进而取决于气体的总温和总压。我们可以进一步证明\({\rho V}/{\left( {{\rho }_{\text{cr}}}{{V}_{\text{cr}}} \right)}\;\)只与速度系数𝝀有关，并定义它为流量函数
\[q\left( \lambda \right)=\frac{\rho V}{{{\rho }_{\text{cr}}}{{V}_{\text{cr}}}}\]
（4）
𝝆𝑽是气体的密流，表示单位面积的流量，所以流量函数的物理意义是气体的密流与临界密流之比。
下面来推导流量函数的关系式。
\[\frac{\rho V}{{{\rho }_{cr}}{{V}_{cr}}}=\frac{\rho }{{{\rho }_{cr}}}\lambda =\frac{{\rho }/{{{\rho }_{\text{t}}}}\;}{{{{\rho }_{cr}}}/{{{\rho }_{\text{t}}}}\;}\lambda =\frac{{{\left( 1-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{\lambda }^{2}} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}}{{{\left( 1-\frac{\gamma -1}{\gamma +1} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}}\lambda \]
整理可得
\[q\left( \lambda \right)=\frac{\rho V}{{{\rho }_{\text{cr}}}{{V}_{\text{cr}}}}={{\left( \frac{\gamma +1}{2}-\frac{\gamma -1}{2}{{\lambda }^{2}} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}\lambda \]
（5）
定义了流量函数后，质量流量可以表示为
\[\begin{align}
& \dot{m}={{\rho }_{\text{cr}}}{{V}_{\text{cr}}}Aq\left( \lambda \right)=\frac{{{\rho }_{\text{cr}}}}{{{\rho }_{\text{t}}}}{{\rho }_{\text{t}}}{{c}_{\text{cr}}}Aq\left( \lambda \right) \\
& ={{\left( \frac{2}{\gamma +1} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}\cdot \frac{{{p}_{\text{t}}}}{R{{T}_{\text{t}}}}\cdot \sqrt{\frac{2\gamma }{\gamma +1}R{{T}_{\text{t}}}}\cdot Aq\left( \lambda \right) \\
\end{align}\]
或写为
\[\dot{m}=K\frac{{{p}_{\text{t}}}}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}Aq\left( \lambda \right)\]
（6）
式中：\(K=\sqrt{\frac{\gamma }{R}{{\left( \frac{2}{\gamma +1} \right)}^{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}}}\)，对于空气，取\(\gamma =1.4\)时，\(K=0.0404\)。
式（6）在气体动力学中非常有用。因为很多问题都近似满足绝能等熵流动，总温和总压在流动过程中保持不变，根据流量连续，在任意截面处有
\[Aq\left( \lambda \right)=\text{C}\]
流量函数𝒒(𝝀)随速度系数𝝀的变化如图2所示，可以看出该函数在亚声速时随流速增加，超声速时随流速减小，在声速处取得最大值 1.0。也就是说，声速时流体的密流𝝆𝑽最大，即单位面积可通过的流量最大。当气体通过一维管道定常流动时，流速越接近声速的地方需要的流通面积越小。亚声速时管道收缩对应着流动加速，超声速时管道收缩则对应着减速。
图2 流量函数随速度系数的变化
在一维流动中，如果想要让流体定常地从亚声速一直加速到超声速，需要通道面积先收缩再扩张才能做到。喷管中部会有一个面积最小的位置，称为喉部，此处的流动速度为声速。这种管道是由瑞典工程师拉瓦尔
在研制冲击式汽轮机的时候最先提出的，称为拉瓦尔喷管。图3是拉瓦尔设计的汽轮机，为了增加汽轮机的功率，要求冲击涡轮叶片的气流速度越大越好，拉瓦尔通过收缩 - 扩张喷管的方式使气流达到了超声速。火箭发动机的喷管也是一个典型的拉瓦尔喷管，可以让高温高压的燃气从内部开始一直加速到喷口处，给火箭提供推进力。
图3 拉瓦尔设计的汽轮机和收扩喷管
气体动力学中还经常使用另一个流量函数𝒚(𝝀)来替代𝒒(𝝀)，应用于已知的不是气体的总压，而是静压的情况。对流量公式（4.52）进行变换
\[\dot{m}=K\frac{{{p}_{\text{t}}}}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}Aq\left( \lambda \right)=K\frac{p}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}A\frac{q\left( \lambda \right)}{\pi \left( \lambda \right)}=K\frac{p}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}Ay\left( \lambda \right)\]
可见，𝒚(𝝀)不算新的概念，\(y\left( \lambda \right)={q\left( \lambda \right)}/{\pi \left( \lambda \right)}\;\)。在普遍应用电脑计算之前，气动计算主要是靠手算+查表，事先把气动函数如𝒒(𝝀)和𝒚(𝝀)计算好的值列成表格，如果已知总压，就查𝒒(𝝀)，已知静压，就查𝒚(𝝀)。现在我们可以用电脑方便地计算，所以就没必要使用𝒚(𝝀)了。了解这个函数主要是为了看一些较老的资料时知道它是什么。
3冲量函数
流体力学使用欧拉法，所以这里所说的冲量和理论力学中定义的冲量有一些不同。对于如图4所示的一维变截面管流，以虚线所示的范围为控制体，忽略重力和黏性影响，则该控制体只受表面力的作用，可以列出动量方程
图4 一维变截面管道流动受力分析
\[F+{{p}_{1}}{{A}_{1}}-{{p}_{2}}{{A}_{2}}=\dot{m}{{V}_{2}}-\dot{m}{{V}_{1}}\]
式中的𝑭为管壁给予气体的作用力，这个力是流体和外界的作用力，一般是我们关心的，因此把上式变换成如下形式
\[F=\left( \dot{m}{{V}_{2}}+{{p}_{2}}{{A}_{2}} \right)-\left( \dot{m}{{V}_{1}}+{{p}_{1}}{{A}_{1}} \right)\]
可以看出，流体与外界的作用力等于进出口的\(\dot{m}V+pA\)之差，定义某个截面上的\(\dot{m}V+pA\)为流体的冲量，两个截面间的冲量之差就是流体与外界的作用力。
只是定义冲量，并不能比使用传统的动量方程看到更明显的好处。在气体动力学中，这个冲量可以用气流的总参数和速度系数构成的函数来表示，从而使计算变得更简单。
首先，使用连续方程消去冲量表达式中的面积𝑨，有
\[\dot{m}V+pA=\dot{m}V+p\frac{{\dot{m}}}{\rho V}=\dot{m}\left( V+\frac{p}{\rho V} \right)\]
而
\[V=\lambda {{c}_{\text{cr}}},\text{ }\frac{p}{\rho }=RT=R{{T}_{\text{t}}}\tau \left( \lambda \right)=\frac{\gamma +1}{2\gamma }c_{\text{cr}}^{2}\tau \left( \lambda \right)\]
把上面两式代入到前面的冲量关系式中，有
\[\begin{split}
\dot{m}V+pA &=\dot{m}\left( V+\frac{p}{\rho V} \right) \\
&=\dot{m}\left[ \lambda {{c}_{\text{cr}}}+\frac{\gamma +1}{2\gamma }c_{\text{cr}}^{2}\tau \left( \lambda \right)\frac{1}{\lambda {{c}_{\text{cr}}}} \right] \\
&=\dot{m}\left[ \lambda {{c}_{\text{cr}}}+\frac{\gamma +1}{2\gamma }{{c}_{\text{cr}}}\left( 1-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{\lambda }^{2}} \right)\frac{1}{\lambda } \right] \\
&=\frac{\gamma +1}{2\gamma }\dot{m}{{c}_{\text{cr}}}\left( \lambda +\frac{1}{\lambda } \right) \\
\end{split}\]
定义一个新的气动函数，称之为冲量函数
\[z\left( \lambda \right)=\lambda +\frac{1}{\lambda }\]
（7）
于是冲量可以表示为
\[\dot{m}V+pA=\frac{\gamma +1}{2\gamma }\dot{m}{{c}_{\text{cr}}}z\left( \lambda \right)\]
（8）
对于如图4所示的管流，管壁对气体的作用力为
\[F=\frac{\gamma +1}{2\gamma }\dot{m}\left[ {{c}_{\text{cr,2}}}z\left( {{\lambda }_{2}} \right)-{{c}_{\text{cr,1}}}z\left( {{\lambda }_{1}} \right) \right]\]
（9）
式（9）适用于一维定常流动，并不要求流动绝能，更不要求等熵。对于绝能流动，进出口的临界声速相等，式（9）可以简化为
\[F=\frac{\gamma +1}{2\gamma }\dot{m}{{c}_{\text{cr}}}\left[ z\left( {{\lambda }_{2}} \right)-z\left( {{\lambda }_{1}} \right) \right]\]
（10）
要从式（9）或（10）计算管道给气流的作用力，需要已知气流的流量、临界声速和冲量函数𝒛(𝝀)。流量由总温、总压和速度系数决定，临界声速由总温决定，𝒛(𝝀)由速度系数决定。可以通过进一步简化，消去式中的总温，具体推导如下
把流量公式（6）和临界声速公式\({{c}_{\text{cr}}}=\sqrt{\left( {2\gamma }/{\gamma +1}\; \right)R{{T}_{\text{t}}}}\) 带入式（8），有
\[\begin{split}
& \dot{m}V+pA=\frac{\gamma +1}{2\gamma }\dot{m}{{c}_{\text{cr}}}z\left( \lambda \right) \\
& =\frac{\gamma +1}{2\gamma }\cdot \sqrt{\frac{\gamma }{R}{{\left( \frac{2}{\gamma +1} \right)}^{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}}}\frac{{{p}_{\text{t}}}}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}Aq\left( \lambda \right)\cdot \sqrt{\frac{2\gamma }{\gamma +1}R{{T}_{\text{t}}}}\cdot z\left( \lambda \right) \\
& ={{\left( \frac{2}{\gamma +1} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}{{p}_{\text{t}}}Aq\left( \lambda \right)z\left( \lambda \right) \\
& ={{p}_{\text{t}}}Af\left( \lambda \right) \\
\end{split}\]
上式中的𝒇(𝝀)是新定义的冲量函数
\[f\left( \lambda \right)={{\left( \frac{2}{\gamma +1} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}q\left( \lambda \right)z\left( \lambda \right)\]
（11）
当已知进出口气流的总压时，就可以用下式计算管壁对气流的作用力
\[F={{p}_{\text{t,}2}}{{A}_{2}}f\left( {{\lambda }_{2}} \right)-{{p}_{\text{t,1}}}{{A}_{1}}f\left( {{\lambda }_{1}} \right)\]
（12）
如果已知的不是总压，而是静压，可以先用𝝅(𝝀)计算总压就可以了。有些书和资料上在这时定义了另一个冲量函数𝒓(𝝀)
\[r\left( \lambda \right)={\pi \left( \lambda \right)}/{f\left( \lambda \right)}\;\]
式（12）变为
\[F={{{p}_{2}}{{A}_{2}}}/{r\left( {{\lambda }_{2}} \right)}\;-{{{p}_{\text{1}}}{{A}_{1}}}/{r\left( {{\lambda }_{1}} \right)}\;\]
𝒛(𝝀)，𝝅(𝝀)和𝒓(𝝀)都称为冲量函数，实际工作中使用哪个，取决于已知是什么，实际上它们之间可以互相转换，一般只需要记住和使用一个，其它两个在资料上看到知道是什么就可以了。
图5给出了冲量函数𝒛(𝝀)随速度系数𝝀的变化关系，可以看到在亚声速时𝒛(𝝀)随𝝀的增大而减小，超声速时随𝝀的增大而增大。根据式（10），当出口的比进口大时，管壁给予流体的力是正的，即力是沿流动方向的。在流动为亚声速时，扩张通道使出口的𝝀比进口小，从而比进口大，因此扩张通道对应着F为正。在流动为超声速时，扩张通道让出口𝝀的比进口大，从而𝒛(𝝀)比进口大，因此扩张通道也对应着𝑭为正。也就是说，无论流动是亚声速还是超声速，都是扩张通道对应着119917;为正。这种现象是符合物理实际的，因为只有扩张通道才能对流体施加流向的力，如果通道是收缩的，则管壁给流体的作用力是与流向相反的。图6给出了收缩和扩张通道管壁对流体施加力的示意图，这种力的作用与流动是亚声速还是超声速无关。
图5 冲量函数随速度系数的变化
图6 收缩与扩张通道对流体的作用力
冲量\(\dot{m}V+pA\)和冲量函数𝒛(𝝀)具有相同的变化趋势，也是亚声速时随流速增大而减小，超声速时随流速增大而增大。亚声速时，流速增加，动量流量项\(\dot{m}V\)显然是增加的，但压力和面积都减小，力项\(pA\)减小得更多，所以冲量是减小的。超声速时，虽然压力也是随流速增大而减小的，但面积是增加的，冲量是随流速增大而增大的。可以这样理解冲量的变化：冲量体现了气体自身的一种力量，气体以亚声速加速时，是一种完全靠自身膨胀的加速，所以冲量减小，过程中壁面对气体有阻碍，是一种受限膨胀。气体以超声速加速时，则是一种在壁面作用力辅助下的加速，壁面是推动流体加速的，所以冲量增加。如果壁面既不阻碍也不帮助气体加速，气体就是自由膨胀加速，速度是声速，对应平直壁面。
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（Gustaf de Laval，1845-1913）