📖 雷诺输运定理
1拉格朗日法和欧拉法
基于伽利略运动学和牛顿力学的研究主要用的是拉格朗日法，也就是说研究某个物体的运动规律。简化之后就是质点运动学和刚体运动学等分支。对于流体，当然也可以用这种方法，不过用起来并不太方便，因为流动中需要关注的质点太多，且各质点之间的位置变化很大。另外，工程中研究的流体力学问题多是流体对固体的作用力，而不是流体本身。因此，在流体力学中通常是研究一个特定的空间，着眼于流体经过这个空间时发生的变化以及与这个空间的相互作用，这种方法称为欧拉法。
如果想用动量定理来研究汽车的气动阻力，使用拉格朗日法是比较复杂的。因为这时需要分析空气打在汽车表面每一处后的速度变化。但如果使用欧拉法，就可以在汽车的前方和后方各设一个截面，研究这两个截面处的流体动量关系，就可以得到汽车的阻力了，如图1所示。
图1 空气绕过汽车的流动
这里所说的两个截面之间就形成了欧拉法研究的对象，是一个空间，我们称之为控制体，而参与推力产生的那团空气则称为体系。体系其实就是一团流体，比起固体力学复杂一些的是流体显然不能当作刚体看待，所以刚体力学派不上用场。
但从本质上说，流体的运动也完全符合经典运动学和经典力学，只不过这些规律都只能用于体系，而不能用于控制体。因为控制体就是一个抽象的空间，即没有质量也不能定义速度。现在我们要使用欧拉法，还要使用经典力学，怎么办呢？就需要在控制体和体系之间建立起关系，把那些原本适用于体系的关系式转换成适用于控制体的。这个转换的关系就是雷诺输运定理。
2雷诺输运定理的推导
下面来推导一般形式的雷诺输运定理，如图2所示，在流场中取一个控制体，在𝒕时刻控制体内的流体为所研究的体系。设𝜱为体系所具有的某种力学性质（质量、动量、能量等），因为在𝒕时刻体系和控制体是重合的，所以体系的性质就是控制体内流体的性质，即
\[{{\Phi }_{\text{cv}}}\left( t \right)={{\Phi }_{\text{sys}}}\left( t \right)\]
式中的下标cv和sys分别代表控制体（Control Volume）和体系（System）。
图2 体系和控制体──雷诺输运定理的推导
（鼠标悬停或点击重放）
经过一小段时间𝐝𝒕后，控制体内的流体跑出去了一部分，体系和控制体不再重合。跑出去这部分流体所携带的𝜱标记为\({{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}\)，同时有新的流体进入了控制体，这部分携带的𝜱标记为\({{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}\)。因此在𝒕+𝐝𝒕时刻，控制体和体系分别所含有的𝜱的关系为
\[{{\Phi }_{\text{cv}}}\left( t+\text{d}t \right)={{\Phi }_{\text{sys}}}\left( t+\text{d}t \right)-{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}+{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}\]
单位时间内控制体内𝜱的变化可以用微分的定义表示，并推导如下
\[\begin{split}
\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{cv}}}}{\text{d}t}&=\frac{{{\Phi }_{\text{cv}}}(t+\text{d}t)-{{\Phi }_{\text{cv}}}(t)}{\text{d}t} \\ \\
& \text{ }=\frac{{{\Phi }_{\text{sys}}}(t+\text{d}t)-{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}+{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}-{{\Phi }_{\text{cv}}}(t)}{\text{d}t} \\ \\
& \text{ }=\frac{{{\Phi }_{\text{sys}}}(t+\text{d}t)-{{\Phi }_{\text{cv}}}(t)}{\text{d}t}-\frac{{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}-{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}}{\text{d}t} \\ \\
& \text{ }=\frac{{{\Phi }_{\text{sys}}}(t+\text{d}t)-{{\Phi }_{\text{sys}}}(t)}{\text{d}t}-\frac{{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}-{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}}{\text{d}t} \\ \\
& \text{ }=\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{sys}}}}{\text{d}t}-\frac{{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}-{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}}{\text{d}t} \\
\end{split}\]
于是就得到下面的关系式
\[\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{sys}}}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{cv}}}}{\text{d}t}+\frac{{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{out}}}-{{\left( \text{d}\Phi \right)}_{\text{in}}}}{\text{d}t}\]
（1）
式（1）就是雷诺输运定理，它表示了某一时刻控制体内流体性质的变化和体系的性质变化之间的关系，应用这个关系式可以把原本适用于体系的基本物理定律变换成适用于控制体的。式中𝜱是通过控制体的边界进出的，这个边界称为控制面（Control Surface），用cs表示。比较严谨的一般形式的雷诺输运定理可以写为
\[\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{sys}}}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{cv}}}}{\text{d}t}+\iint\limits_{\text{cs}}{\phi \left( \vec{V}\cdot \vec{n} \right)\text{d}A}\]
（2）
式中：𝝓代表单位体积的𝜱，𝐝𝑨表示控制面上的微元面积；式中的积分项表示了单位时间内净流出控制体的𝜱。
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