📖 一些无量纲数

图1给出了几种流体力学中常用的无量纲数及其表达式和物理意义。可以看出，这些无量纲数都表示了某两种力之比，这是因为流体运动状态的改变决定于其所受到的力，而哪种作用力占主导因素，流动就主要由该作用力决定。下面我们分别来分析各无量纲数的物理意义和应用。

1雷诺数

式中：𝝆为流体密度；𝑽为特征流速；𝑳为特征长度；𝝁为动力黏性系数。

雷诺数可能是流体力学中最著名的无量纲数了，使其著名的主要原因是英国科学家雷诺的著名实验，该实验揭示了雷诺数是决定流动为层流还是湍流的参数。因此，很多学过流体力学的人最后都记住了雷诺数是决定流动状态的参数。很明显，这种说法并不准确。例如，蜂蜜和水在低速时都可以是层流，但它们的运动特征也是很不一样的。

雷诺数的意义是流体的惯性力与黏性力之比，既然惯性力其实就是流体运动状态的改变（加速度），那么雷诺数其实就代表了流动时黏性力的大小。雷诺数从小到大的变化就是黏性力逐渐减弱的过程，对于一般的流动，可以大概给出一些雷诺数的范围和对应的流动状态。

• ✵ \(Re\ll 1\)，这时黏性力远远大于惯性力，因而惯性力可以忽略，这种超低雷诺数的流动称为蠕动流或斯托克斯流，细菌和病毒的运动就是一种蠕动流。蠕动流中惯性作用可忽略，因此物体的运动方式是：有力就动，没力就停。那些摩擦力远大于惯性力的固体的运动也是这样的，例如挪很重的家具的时候。
• ✵ \(1\lt Re \lt 2100\)，在这个范围内，黏性力和惯性力都不可忽略，并且黏性力起到了约束流体微团的作用，流体微团做较为规则的运动——层流。（需要注意的是，2100 这个数是针对管内流动而言的，对于其他流动，根据特征尺度和特征速度的取法，这个数会有较大的不同）
• ✵ \(2100\lt Re \lt 10^5\)，在这个范围内，做层流运动的流体由于黏性力的减小开始变得不稳定，一些小的压力扰动就可能会产生长时间和长距离的振荡，因此流动处于层流和湍流交替的情形。根据外部条件的不同，流动可能是层流的，也可能是湍流的。
• ✵ \(Re \gt 10^5\)，在这个范围内，惯性力占主导作用，按理说黏性力的影响十分小，可以忽略。不过在这样的条件下流体的运动基本都是湍流状态，湍流脉动对宏观流动的作用就类似于黏性的作用，因此这时的流动并不能当成无黏来处理。
• ✵ \(Re \to \infty \)，相当于没有黏性力的流动，超流体大概对应着这种情况，按理说可以应用无黏理论了。不过研究表明超流体具有很多新的性质，比如宏观的剪切会引起原子内部电子自旋的改变，等等。简单的无黏理论并不能准确描述超流体的运动。可以说，无黏流动实际上并不存在。

图2给出了一些流动的雷诺数范围供读者参考。

这里有一个值得注意的地方，既然雷诺数代表了两种力之比，那么为什么直到 \(Re=10^5\) 以上时，惯性力才完全占据上风，而不是在 \(Re=1\) 附近分界呢？

这主要是雷诺数表达式中的特征速度和特征尺寸的选择问题。工程上为了方便，一般选取某一宏观尺寸作为特征长度，比如管内流动选取管的内径，绕圆柱流动选取圆柱直径，绕机翼流动选取机翼弦长等。实际上要描述流体微团的运动规律，显然选取当地的特征长度更为合理。例如，在边界层流动中，选取边界层厚度就更为合理，而在湍流中，用耗散涡直径计算的雷诺数等于1，也就是说在这个尺度上黏性力和惯性力相当。

2马赫数

式中：𝑽为流速；𝒂为声速。

马赫数大概是在流体力学中，除雷诺数之外第二有名的无量纲数了，对于空气动力学来说马赫数比雷诺数还要重要得多。马赫数是以奥地利物理学家马赫的名字命名的，其表面的物理意义是物体运动速度与当地声速之比。从力的角度来说，马赫数表示了流体中的惯性力与弹性力之比。马赫数越大，表示流体的弹性模量相对惯性力来说越小。

当马赫数很小时，相当于气体的弹性模量非常大，跟刚体差不多。这时流体通常被当做不可压缩来处理，速度的变化只产生压差力。当马赫数较高时，速度的变化除产生压差力外，还有一部分通过压缩流体而产生弹性力。在跨声速和超声速流动中，马赫数通常是决定流动状态的主要因素。对于处理高速流动的工程师们来说，经常要面临的一个典型的流动问题是激波和物体表面边界层的相互作用。也就是说，这时弹性力和黏性力共同影响流动。这种流动如果要进行模型实验，最好就要保证马赫数和雷诺数都一致。

图3给出了一些物体的运动马赫数，生活中多数常见的流动速度都远低于声速，马赫数对流动的影响很小，这时的模型实验主要考虑雷诺数的影响。当处理飞行器和高速赛车等流动时，则要考虑压缩性的影响，需保证模型实验与实际流动的马赫数一致。

3斯特劳哈尔数

式中：𝒇为周期性流动的频率；𝑳为特征长度；𝑽为特征流速。

当流体做周期性非定常运动时，可以用斯特劳哈尔数来描述振荡的程度，斯特劳哈尔数表示了当地惯性力（非定常惯性力）与对流惯性力（定常惯性力）之比，可以看出斯特劳哈尔数越大则表示振荡的强度越大。当流体绕物体流动时，经常会在其后面形成周期性的涡脱落，称为卡门涡街。对于一定雷诺数下的圆柱绕流来说，这种涡脱落具有很好的周期性，产生的声音就像圆柱在“唱歌”。历史上斯特劳哈尔
（Vincenc Strouhal，1850—1922）
  捷克物理学家。 [人物] 也正是在研究电线在风中“唱歌”的现象中定义了这个无量纲数。

实验结果表明，在一定的雷诺数范围内，由圆柱后面的卡门涡街的脱落频率定义的斯特劳哈尔数是一个定值：\(St \approx 0.21 \)，从而可以根据流速和圆柱直径计算涡脱落频率𝒇。例如，电线的直径为5mm，在5级风（~10m/s）的时候，雷诺数为3000，圆柱后会产生卡门涡街。根据式（8.3）计算出此时的涡脱落频率为420Hz，这个频率正好是人耳可以听到的。同样雷诺数下，直径5cm 的树干在1m/s 的风速下，涡脱落频率是4.2Hz，人耳是听不到这个声音的。大烟囱直径5m，要想产生人耳可听到的声音（𝒇 >20Hz），风速至少要达到476m/s，显然不会有这样大的风速，即使有，也是有复杂波系的超声速流动，不能这样评估了。

4弗劳德数

式中：𝑽为特征流速；𝒈为重力加速度；𝑳为特征长度。

弗劳德数表示了流动中惯性力与重力之比。一般只有在处理重力场内液体的自由表面相关的运动时才考虑弗劳德数，事实上弗劳德数就是英国科学家弗劳德
（William Froude，1810—1879）
  英国科学家。 [人物] 在研究船航行时受到的水面波阻力时定义的。

弗劳德数之所以不太常用，是因为在很多流体问题中，重力都是可以忽略的。来看这样一个例子，假设流体以\(V=20 \text{m/s} \) 的速度通过一个转弯半径为10mm 的转角，则离心加速度为

可见，此处的惯性力远远大于重力，重力是完全可以忽略的。

加速度与流体的密度无关，因此上述结论对气体和液体都适用。然而，实际工程问题中，我们明明感觉到重力对于液体运动的影响要比气体大得多，这是为什么呢？这是因为气体的密度小，与惯性力相平衡的压差力容易实现。例如上述的流动中，在介质分别为空气和水时，来流的动压分别为

可见，空气出现这种流动很常见，水要想出现同样的流动，就需要很大的压力。当流动以相同的压差力驱动时，气体高速运动，液体低速运动。从前面的离心加速度的分析可知，重力只在流速小的时候才体现出来，所以我们的常识是重力对水流影响大，对气流影响小。事实上，高速的水流也不需要考虑重力，比如工业上的水切割装置中的射流就可以不考虑重力。

另一方面，虽然说气体的低速运动中重力的作用会凸显出来，但这时雷诺数通常也会很小，粘性力的影响会比重力还大，所以气体运动一般都不考虑重力。不过，如果在同时有温度的变化导致密度不均匀的时候，重力的作用就不可忽略了。比如说空气的自然对流中，重力就是主要的驱动力，这时通常用到另一个这里没有提到的无量纲数──格拉晓夫数。

5韦伯数

式中：𝝆为流体密度；𝑽为特征流速；𝑳为特征长度；𝝈为液体的表面张力系数。

韦伯数表示了惯性力与表面张力的比值。在液体的表面会存在表面张力，当流体的运动速度较小，或者液滴的尺度比较小时，表面张力有可能与当地的惯性力相当或更大，这时就需要考虑表面张力的作用了。韦伯数越小表示表面张力越重要，例如毛细管现象、肥皂泡、液滴等小尺度的问题。当韦伯数远大于1 时，表面张力的作用就可以忽略。

雨滴下落时的形状就与表面张力直接相关，而大瀑布流下的水则基本上不需要考虑表面张力的作用。液滴在高速气流中的破碎问题也与韦伯数息息相关，而这通常是在发动机的燃烧室中组织高效燃烧的关键问题。

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