📖 流动方程的无量纲化
流体运动是受三大方程控制的，为了简单清楚地说明问题，这里只针对二维流动的𝐍-𝐒方程来分析，𝒙方向的方程如下
\[\rho \frac{\partial u}{\partial t}+\rho u\frac{\partial u}{\partial x}+\rho v\frac{\partial u}{\partial y}=\rho {{f}_{x}}-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu \left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)\]
在用缩小尺寸的风洞模型进行实验时，为了让两个流动相似，希望在“相同位置”处的流动相同。这个“相同位置”其实是个相对概念，比如真实机翼的翼根上表面从前缘开始 30% 弦长处有分离，这个 30% 就是\(x^*=x/c=0.3\)的意思。其中的𝒙为分离点到前缘的距离，𝒄为弦长， \(x^*\)为无量纲的尺度。
可见，如果方程中的坐标是无量纲的，就可以描述几何相似尺寸不同的流动了。进一步来说，如果方程中的所有量都是无量纲的，就可以描述各种条件下的流动了，这样的方程具有更好的通用性。
分别用𝑽, 𝒑, 𝑳, 𝝉代表速度、压力、长度和时间的参考量，得到无量纲量如下
\[{{u}^{*}}=\frac{u}{V},\quad{{v}^{*}}=\frac{v}{V},\quad{{p}^{*}}=\frac{p}{{{p}_{0}}},\quad{{x}^{*}}=\frac{x}{L},\quad{{y}^{*}}=\frac{y}{L},\quad{{t}^{*}}=\frac{t}{\tau }\]
于是，各物理量可以用无量纲量来表示如下
\[u={{u}^{*}}V,\quad v={{v}^{*}}V,\quad p={{p}^{*}}{{p}_{0}},\quad x={{x}^{*}}L,\quad y={{y}^{*}}L,\quad t={{t}^{*}}\tau \]
将这些参数代入控制方程中，可得
\[\left[ \frac{\rho V}{\tau } \right]\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{t}^{*}}}+\left[ \frac{\rho {{V}^{2}}}{L} \right]\left( {{u}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+{{v}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}} \right)=\left[ \rho {{f}_{x}} \right]-\left[ \frac{{{p}_{0}}}{L} \right]\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\left[ \frac{\mu V}{{{L}^{2}}} \right]\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}^{2}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}^{2}} \right)\]
公式中方括号内的各项的量纲是单位体积的力，它们代表了作用在流体上的各种力，含义分别如下
\(\left[ \frac{\rho V}{\tau } \right]\) —— 当地惯性力（非定常惯性力）
\(\left[ \frac{\rho {{V}^{2}}}{L} \right]\) —— 对流惯性力（定常惯性力）
\(\left[ \rho {{f}_{x}} \right]\) —— 体积力
\(\left[ \frac{{{p}_{0}}}{L} \right]\) —— 压力
\(\left[ \frac{\mu V}{{{L}^{2}}} \right]\) —— 粘性力
将前面式子中的各项都除以对流惯性力\(\rho V^2/L\)，并把体积力替换为重力，可以得到如下关系式
\[\left[ \frac{L}{\tau V} \right]\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{t}^{*}}}+\left( {{u}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+{{v}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}} \right)=\left[ \frac{gL}{{{V}^{2}}} \right]-\left[ \frac{{{p}_{0}}}{\rho {{V}^{2}}} \right]\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\left[ \frac{\mu }{\rho VL} \right]\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}^{2}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}^{2}} \right)\]
可以看出，方括号内的各项就对应着前面提到过的一些无量纲数，即
\[St\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{t}^{*}}}+\left( {{u}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+{{v}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}} \right)=\frac{1}{F{{r}^{2}}}-Eu\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\frac{1}{Re}\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}^{2}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}^{2}} \right)\]
（1）
可见，对于不可压缩流动，决定流动状态的无量纲数有四个，分别为：欧拉数𝑬𝒖，雷诺数𝑹𝒆，弗劳德数𝑭𝒓 和斯特劳哈尔数𝑺𝒕。当流动为定常，且重力可忽略时，公式简化为
\[\left( {{u}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+{{v}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}} \right)=-Eu\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\frac{1}{Re}\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}^{2}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}^{2}} \right)\]
（2）
即流动只由欧拉数和雷诺数决定，如果再忽略粘性力，则公式简化为
\[Eu\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\left( {{u}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+{{v}^{*}}\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{y}^{*}}} \right)=0\]
（3）
即流动只由欧拉数决定。欧拉数其实是马赫数的一种变形，即这时的流动只决定于气体的压缩性。
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