📖 流动中的重力

1重力的效果

重力是一种体积力（也叫质量力），特点是作用在全部流体质点上，且方向都是竖直向下的。重力对流体的影响比较简单，它总是试图使流体微团在竖直方向做加速运动，并对流体做功。由于重力是保守力，所以重力做功也可以表示为重力势能的变化。

对于静止的流体，为了抵消重力产生的加速度，流体下部的压力总是大于上部，产生的压差力竖直向上。对于液体，流体的密度经常可以按常数处理，深度为𝒉的液面以下某一点的压力为

\[p=p_0+\rho gh\]

对于气体，其密度随压力和温度的变化较大，可以使用微分形式的方程，即

\[\text{d}p=\rho g\text{d}h\]

如果流体不是静止的，只要是沿水平方向流动的，重力的影响就仍然和静止流体中相同。求解时不需要考虑重力，需要时在结果中加入重力就行了。比如图1所示的水沿水平管道的流动，假设是完全发展的层流，符合泊肃叶流动。

图1 水沿水平管道的泊肃叶流动

标准的泊肃叶流动是不含重力影响的，管内的速度分布和压力分布如下式所示

\[u\left( r \right)=2U\left[ 1-{{\left( \frac{r}{R} \right)}^{2}} \right]\]

\[p\left( x \right)={{p}_{{{x}_{0}}}}-\frac{32\mu U}{{{D}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)\]

上式中的𝑹为管道半径，𝑫为管道直径，𝑼为截面平均流速，\({{p}_{{{x}_{0}}}}\)表示了管道进口截面的压力。

从这两个式子可以看出，不考虑重力的情况下，流速只沿竖直（半径）方向变化，压力只沿水平（管长）方向变化。图1中，流场颜色深浅表示了压力的大小，颜色越深压力越大。当有重力影响时，因为流动是沿水平方向的，重力并不会对流速有任何影响，所以流速分布还是不变的。但是，压力分布会有所不同，管道下部的水压应该比上部的水压高。把重力引起的水压变化关系式\(p=p_0+\rho gh\)变化后带入到上面的压力分布关系式中，有

\[p\left( x,\text{ }y \right)={{p}_{{{x}_{0}}}}-\frac{32\mu U}{{{D}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)-\rho gy\]

把图1重新画一下，如图2所示，𝒚的正方向为竖直朝上。上式中，\({{p}_{{{x}_{0}}}}\)表示了管道进口截面中心线上的压力。仍然用流场颜色深浅表示压力的大小，这时压力变化仍然是线性的，不过与水平和竖直方向都有关了。最大压力点在左下角，最小压力点在右上角。

图2 考虑重力影响时的泊肃叶流动

即使流体不是沿水平方向流动的，只要在竖直方向没有加速度，就仍然可以使用上式。也就是说，只要是等截面直管道，即使倾斜放置，流速也仍然不受重力影响，管内的压力分布也一样可以使用上式计算，只需要进行一下坐标旋转就可以了。

如果是在垂直方向有加速度的流动，重力就会对流速和压力分布都有影响，这时需要在一开始计算时就考虑重力。比如，伯努利方程里面就有重力的影响

\[\frac{{{V}^{2}}}{2}+\frac{p}{\rho }+gz=C\]

对于更复杂的三维可压缩流动，重力在流动中所起的作用也更为复杂，不能单独计算了。但在很多流动情况下，重力确实可以忽略。何时可以忽略重力，何时需要考虑重力，主要看重力对流动的影响有多大。

2可以忽略重力的情况

重力是流体所受所用力的一种，如果重力相比其它力来说可以忽略，自然就可以不考虑重力。流体都受那些力的作用呢？来看流体微团的动量方程

\[\frac{\text{D}\vec{V}}{\text{D}t}={{\vec{f}}_{\text{b}}}-\frac{1}{\rho }\nabla p+\frac{\mu }{\rho }{{\nabla }^{2}}\vec{V}\]

在上式的动量方程中，等号左边是流体的加速度，右边有三项，分别代表了体积力、压差力和粘性力。因此，流场中的任何流体微团只受到三种力的作用：重力、压差力和粘性力（这里，只考虑重力是唯一的体积力，不存在电磁力等其它体积力的情况）。

如果我们站在流体微团上随其一起运动，即以流体微团为参考系，则加速度体现为惯性力，这时流体微团在四种力的作用下保持平衡：重力、压差力、粘性力和惯性力。常见的流动中（雷诺数较高的流动），粘性力较小，不起主要作用，还剩下重力、惯性力和压差力三个。压差力是一种结果力，意思是说压差力是重力和惯性力作用的结果。重力和惯性力越大，相应的压差力也越大，总是能保持流体微团的平衡。所以，要考察重力的影响，就应该看其和惯性力大小的比较，当重力相对于惯性力来说很小时，就可以忽略重力。

流体力学中表征流体惯性力和重力相对大小的无量纲数是弗劳德数（Froude number），记为Fr，表达式为

\[Fr=\sqrt{\frac{{{V}^{2}}}{gL}}\]

把弗劳德数取平方，并变换一下，有

\[F{{r}^{2}}=\frac{{{V}^{2}}}{gL}=\frac{{\rho {{V}^{2}}}/{L}\;}{\rho g}=\frac{{m{{V}^{2}}}/{L}\;}{mg}\]

上式中，\(mg\;\)是重力，而\({m{{V}^{2}}}/{L}\;\)是惯性力。相应地，\(\rho g\;\)和\({\rho {{V}^{2}}}/{L}\;\)代表了单位体积的重力和惯性力。

\(\rho g\;\)代表了重力是显而易见的，\({\rho {{V}^{2}}}/{L}\;\)为什么代表了惯性力就不是很直观了。为了理解这一点，下面我们来对动量方程进行量纲分析。

只研究重力起作用的竖直方向，设竖直向上为𝒙轴的正方向，沿𝒙轴的不可压缩流动的动量方程为

\[\begin{align} & \rho \frac{\partial u}{\partial t}+\rho u\frac{\partial u}{\partial x}+\rho v\frac{\partial u}{\partial y}+\rho w\frac{\partial u}{\partial z} \\ \\ & \text{ }=-\rho g-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu \left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{z}^{2}}} \right) \\ \end{align}\]

分别用𝑽, 𝑷, 𝑳, 𝑻代表速度、压力、长度和时间的参考量，得到无量纲量如下

\[\begin{align} & {{u}^{*}}=\frac{u}{V},\text{ }{{v}^{*}}=\frac{v}{V},\text{ }{{w}^{*}}=\frac{w}{V},\text{ }{{p}^{*}}=\frac{p}{P},\text{ } \\ \\ & {{x}^{*}}=\frac{x}{L},\text{ }{{y}^{*}}=\frac{y}{L},\text{ }{{z}^{*}}=\frac{z}{L},\text{ }{{t}^{*}}=\frac{t}{T} \\ \end{align}\]

于是，各物理量可以用无量纲量来表示如下

\[\begin{align} & u={{u}^{*}}V,\text{ }v={{v}^{*}}V,\text{ }w={{w}^{*}}V,\text{ }p={{p}^{*}}P,\text{ } \\ \\ & x={{x}^{*}}L,\text{ }y={{y}^{*}}L,\text{ }z={{z}^{*}}L,\text{ }t={{t}^{*}}T \\ \end{align}\]

将这些参数代入上面的动量方程中，可得

\[\begin{align} & \left[ \frac{\rho V}{T} \right]\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{t}^{*}}}+\left[ \frac{\rho {{V}^{2}}}{L} \right]{{V}^{*}}\cdot \nabla {{u}^{*}} \\ \\ & =-\left[ \rho g \right]-\left[ \frac{P}{L} \right]\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\left[ \frac{\mu V}{{{L}^{2}}} \right]{{\nabla }^{2}}{{u}^{*}} \\ \end{align}\] （1）

上式中，方括号内的各项的量纲是单位体积的力，代表了作用在流体上的各种力，含义分别如下：

⚛ \(\left[ \frac{\rho V}{T} \right]\) -- 当地惯性力（非定常流动的惯性力）

⚛ \(\left[ \frac{\rho {{V}^{2}}}{L} \right]\) -- 对流惯性力（定常流动的惯性力）

⚛ \(\left[ \rho g \right]\) -- 重力

⚛ \(\left[ \frac{P}{L} \right]\) -- 压力

⚛ \(\left[ \frac{\mu V}{{{L}^{2}}} \right]\) -- 粘性力

可见，\({\rho {{V}^{2}}}/{L}\;\)代表的是对流惯性力，也就是在一般的定常流动中，流体加减速所产生的惯性力，比如流体流经收缩通道/扩张通道或者转弯通道时的惯性力。这就回答了之前给出弗劳德数时提出的问题。

对上面的式（1）进一步变换，等式两边都除以对流惯性力\({\rho {{V}^{2}}}/{L}\;\)，有

\[\begin{align} & \left[ \frac{L}{VT} \right]\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{t}^{*}}}+{{V}^{*}}\cdot \nabla {{u}^{*}} \\ \\ & =-\left[ \frac{gL}{{{V}^{2}}} \right]-\left[ \frac{P}{\rho {{V}^{2}}} \right]\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\left[ \frac{\mu }{\rho VL} \right]{{\nabla }^{2}}{{u}^{*}} \\ \end{align}\] （2）

此式包含了几个无量纲数，分别为

⚛ \(St=\frac{L}{VT}\) -- 斯特拉哈尔数

⚛ \(Fr=\sqrt{\frac{{{V}^{2}}}{gL}}\) -- 弗劳德数

⚛ \(Eu=\frac{P}{\rho {{V}^{2}}}\) -- 欧拉数

⚛ \(Re=\frac{\rho VL}{\mu }\) -- 雷诺数

用这四个无量纲数表示的方程为

\[\begin{align} & St\frac{\partial {{u}^{*}}}{\partial {{t}^{*}}}+{{V}^{*}}\cdot \nabla {{u}^{*}} \\ \\ & =-\frac{1}{F{{r}^{2}}}-Eu\frac{\partial {{p}^{*}}}{\partial {{x}^{*}}}+\frac{1}{Re}{{\nabla }^{2}}{{u}^{*}} \\ \end{align}\] （3）

既然弗劳德数表示了惯性力与重力之比，那么它越大，就表示重力越可以被忽略。从上面的式（3）也可以看出这一点，当\(Fr\)很大时，重力项相对其它项较小，就可以忽略了。类似地，从式（3）还可以看出，当雷诺数很大时，粘性力项就可以忽略了。

3气体和液体的不同

弗劳德数的表达式中并不包含密度项，而只涉及流动的速度和尺度，因此，无论流体是气体还是液体，在是否应该考虑重力这个问题上并无区别。这似乎与我们的常识不太一致，一般我们认为多数气体的流动都可以忽略重力，而多数液体的流动都不能忽略重力。

举个简单的例子，假设流体以\(V=20\text{ }{\text{m}}/{\text{s}}\;\)的速度通过一个转弯半径为\(10\text{ }{\text{mm}}\) 的转角，则离心加速度为

\[a=\frac{{{V}^{2}}}{r}=\frac{{{20}^{2}}}{0.01}=40000\text{ }{{{\text{m}}/{\text{s}}\;}^{2}}\approx 4000g\]

可见，这样一个常见的流动中的惯性力远远大于重力，重力是完全可以忽略的。

再举一个收缩管道的例子，假设流体以\(V=20\text{ }{\text{m}}/{\text{s}}\;\)的速度通过一个长度为\(10\text{ }{\text{mm}}\)的收缩管道，面积变为原来的一半，则这段距离内的平均对流加速度为

\[a=u\frac{\Delta u}{\Delta x}=20\cdot \frac{40-20}{0.01}=40000\text{ }{{{\text{m}}/{\text{s}}\;}^{2}}\]

可见，这个流向加速度和上面的离心加速度相同。

上面这两个例子都是较为温和的流动，流速不算大，转弯或者收缩的也不算很快，对应的惯性力都远远超过了重力。因此，很多常见的流动中，重力确实是可以忽略的。

既然加速度与流体的密度无关，上述结论就对气体和液体都适用。然而，实际工程问题中，我们明明感觉到重力对于液体运动的影响要比气体大得多，这是为什么呢？这是因为，气体的密度小，与惯性力相平衡的压差力容易实现。例如上述的流动中，在介质分别为空气和水时，来流的动压分别为

空气：

\[\frac{\rho {{V}^{2}}}{2}=\frac{1.2\cdot {{20}^{2}}}{2}=240\text{ Pa}\approx 0.002\text{ atm}\]

水：

\[\frac{\rho {{V}^{2}}}{2}=\frac{998\cdot {{20}^{2}}}{2}=2\times {{10}^{5}}\text{ Pa}\approx 2\text{ atm}\]

我们用嘴吹气可以轻松地达到\(20\text{ m/s}\)的速度，这时嘴内的气压只需要比大气压高千分之二就可以了。但如果是用嘴来喷水，要想达到\(20\text{ m/s}\)的速度，就需要嘴内的气压比外界高出一个大气压才行，就很困难了。也就是说，流体一般是在压差力驱动下流动的，相同的压差力驱动下，气体高速运动，液体低速运动。所以我们的常识是重力对水流影响大，对气流影响小。本质上的原因是，重力对低速流动影响大，而水流一般都是低速。

因此气体和液体流动在对待重力上的不同，并不是因为密度的不同，而是因为流速的不同，低速流动的气体也需要考虑重力，高速流动的液体也可以忽略重力。比如，气体的自然对流现象中，重力就是主要驱动力，不可忽略，不过这时一般粘性力也很大，所以更常用的无量纲数是格拉晓夫数，它表征了浮力与粘性力的比。高速流动的液体，比如工业上的水切割装置中的射流就可以不考虑重力。

─ ☕ ─

流体的加速度 返回主页