📖 流体的加速度

1流体的速度

通过连续介质假设，我们不再关心流体的微观结构，而认为流体是连续可分的。由于流体流动中的形状变化很大，似乎经典力学的质点运动学和刚体运动学都不好用了，该怎么处理呢？实际上质点运动学还是适合于流体的，我们如果在流体中取一个足够小的微团，就可以忽略它的变形，而只研究它位置的变化，也就是研究它的速度和加速度。这种流体微团也可以称为流体质点，因为它是被当作没有大小的点来看待的

流体力学使用欧拉法，关注的点是空间的点，显然空间的点是没有速度和加速度可言的，所谓“空间某点的速度”其实指的是某时刻位于那个点的流体质点的加速度。流体力学中有定常和非定常的概念，如果空间某点处的流动是定常的，就是指所有通过这个点的流体质点的速度都相同，但这些流体质点在上游和下游的速度可以有变化。

图1给出了流体绕机翼上表面的流动，我们知道流体在机翼上表面的运动速度快，所以，如果观察某个具体的流体质点，就会发现它从远前方匀速流来，遇到机翼后被加速，然后在机翼后部减速，最后恢复到原来速度向后流去。在这个过程中，流体质点经历了加速和减速过程，所以流体质点有加速度。但如果盯着这个流体质点经过的流线上的任一点，则会发现这点处的速度一直是不变的。也就是说，图中的流动是定常的，但具体的流体质点是有加速度的。

图1 流体绕机翼流动时的加减速运动
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在欧拉法中，流体的速度是是用时刻和空间位置来描述的，即“某时刻空间某点处的速度为......”，写成函数形式为

\[\vec{V}=f(t,\text{ }x,\text{ }y,\text{ }z)\]

这其中的𝒙, 𝒚, 𝒛是空间点的坐标。如果把速度分解成三个坐标分量，则三个坐标方向的分速度也都是时间和空间的函数

\[\begin{split} \vec{V}(t,\text{ }x,\text{ }y,\text{ }z)&=\vec{i}u(t,\text{ }x,\text{ }y,\text{ }z) \\ \\ & +\vec{j}v(t,\text{ }x,\text{ }y,\text{ }z) \\ \\ & +\vec{k}w(t,\text{ }x,\text{ }y,\text{ }z) \\ \end{split}\]

2流体的加速度

加速度是单位时间内速度的变化，可以通过速度对时间求导得到，每个坐标方向的加速度就等于那个方向的分速度对时间的导数

\[\vec{a}=\frac{\text{d}\vec{V}}{\text{d}t}=\vec{i}\frac{\text{d}u}{\text{d}t}+\vec{j}\frac{\text{d}v}{\text{d}t}+\vec{k}\frac{\text{d}w}{\text{d}t}\]

现在单独把𝒙方向拿出来分析，𝒙方向的加速度为

\[\begin{split} {{a}_{x}}&=\frac{\text{d}u(t,x,y,z)}{\text{d}t} \\ \\ & =\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} \\ \end{split}\]

\({\partial x}/{\partial t}\;\)是空间坐标对时间的导数，它就是𝒙方向的速度，所以𝒙方向的加速度可以写为

\[{{a}_{x}}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\] （1）

同理可得另两个方向的加速度为

\[{{a}_{y}}=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}\] （2）

\[{{a}_{z}}=\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}\] （3）

3个方向的加速度可以统一写成矢量的形式，表示为

\[\vec{a}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+( \vec{V}\cdot \nabla )\vec{V}\] （4）

此处的 \(\vec{V}\cdot \nabla \)是比较特别的一种表达方式，其展开形式为

\[\begin{split} \vec{V}\cdot \nabla &\text{=}\left( \vec{i}u\text{+}\vec{j}v\text{+}\vec{k}w \right)\cdot \left( \vec{i}\frac{\partial }{\partial x}\text{+}\vec{j}\frac{\partial }{\partial y}\text{+}\vec{k}\frac{\partial }{\partial z} \right) \\ \\ & =u\frac{\partial }{\partial x}+v\frac{\partial }{\partial y}+w\frac{\partial }{\partial z} \\ \end{split}\]

𝛁称为Nabla算子，是一种矢量形式的求导符号，是一个运算符。当用速度在左面点乘它之后，结果仍然是一种运算符，不过变成了标量，可以对其它变量求导。如果速度是在右侧和𝛁点乘，即 \(\nabla \cdot \vec{V}\)，则相当于对速度求导了，结果如下

\[\nabla \cdot \vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\]

这个表达式的物理意义是流体体积的相对变化率。如果它等于零，就是不可压流动的连续方程的表达式，可见连续方程部分。

现在来研究一下式（4），可以看到，在使用欧拉法求加速度时，加速度由两部分组成，其中的 \({\partial \vec{V}}/{\partial t}\;\)只与时间相关，表示的是空间某点处的速度随时间的变化，称为当地加速度。而 \((\vec{V}\cdot \nabla )\vec{V}\)只与位置相关，表示的是某一时刻空间不同点处的速度差异，称为对流加速度。

虽然名称叫做“当地加速度”和“对流加速度”，但这两者显然都不是真正的加速度，用微分的定义式把当地加速度和对流加速度写出来，就会一目了然了。为了简化，这里只分析一维流动的情况，流动只与𝒙方向有关，和𝒚、𝒛有关的项就都没有了

𝒙方向的当地加速度

\[\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{{u}_{t+\Delta t}}-{{u}_{t}}}{\Delta t}\] （5）

𝒙方向的对流加速度

\[u\frac{\partial u}{\partial x}={{u}_{{{x}_{1}}}}\frac{{{u}_{{{x}_{2}}}}-{{u}_{{{x}_{1}}}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\] （6）

为了简化，上面的式子省略了取极限的过程。

视频1中表示了流体在收缩通道内的加速运动，图2画出了某一个空间点和流体质点速度的关系。

视频1 流体在收缩通道内的加速运动

图2 流体质点与空间点的关系

不同时刻，位于固定空间点处的流体质点是不同的。当地加速度比较同一空间点处的速度差别，那么比较的就是不同流体质点的速度差别，并不反映单一质点的速度变化，所以当地加速度不是真正的加速度。而对流加速度比较的是某个时刻不同空间点的速度差别，这也是不同流体质点的速度差别，不反映单一质点的速度变化，所以对流加速度也不是真正的加速度。

下面举几个流动例子，进一步理解流动中的加速度。如图3所示的三种情况，都是用水管从容器中排水，第一种情况（a）的容器比较大，排水管相对较细，容器中的水面随着排水的下降速度很慢，可以忽略。第二种情况（b）的排水管相对容器来说较粗，所以排水的过程中水面迅速下降，不可忽略。第三种情况（c）没有容器，或者说容器和排水管一样粗，水在竖直管道中自由下落。

图3 三种情况下排水管中的加速度分析
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取竖直向下为𝒙方向，先来看图2中的（a），因为水面固定，由伯努利方程可知，我们关注的点处的速度保持不变，即\({\partial u}/{\partial t}\;=0\)，这表示流动是定常的。而此点处在收缩段，所以下游比上游流速快，即\(u{(\partial u}/{\partial x}\;)>0\)，因此经过这点的流体质点加速度大于零，即

\[{{a}_{x}}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)=u\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)>0\]

这是一般流体力学中经常处理的情况，即流动是定常的，但沿流向有加减速，这时的加速度就等于当地加速度。

再来看图2中的（b），它与（a）唯一的区别就是容器不够大，所以随着水的排出水面有明显的下降。这时驱动水排出的力是随时间而减小的，因此关注点处的速度也是随时间减小的，即\({\partial u}/{\partial t}<0\)，而同一时刻，下游的速度比上游快，即\(u({\partial u}/{\partial x}\;)>0\)，所以经过这点的流体质点加速度大于、小于或等于零都有可能，要看具体情况而定

\[{{a}_{x}}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}\text{ ? }0\]

再来看图2中的（c），水在竖直管道中自由下落，忽略水在上下表面处受到的压力差，即忽略空气阻力，可知水的加速度就是重力加速度，即\({{a}_{x}}=g\)。因为是等截面管道，所以上下游水的速度必然是一样的，即对流加速度为零，\(u({\partial u}/{\partial x}\;)=0\).也就是说，加速度就等于当地加速度，图中关注点处的速度变化也就是所有流体质点的速度变化。

\[{{a}_{x}}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}\text{ }=g>0\]

这是一般理论力学力学中经常处理的情况，属于刚体力学的内容。

单从数学上看，加速度的概念很简单，就是速度对时间的全导数，由对时间的偏导数和对空间的偏导数两部分之和构成。对时间的偏导数就是固定空间坐标，只考虑速度随时间的变化，这就对应着空间点处的速度变化，对应于当地加速度。对空间的偏导数就是固定时间，只考虑速度随空间的变化，这就对应着空间的不均匀性，对应于对流加速度。

不只是速度，在欧拉法中，各种流体性质随时间的变化都要用这种全导数来表示，比如压力和密度

\[\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\frac{\partial p}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )p\]

\[\frac{\text{d}\rho }{\text{d}t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\rho \]

这种表示方法有一个专有的名词，称为物质导数，或随体导数，通常用大写的𝐃代替𝐝来表示物质导数，以表示它与一般的全导数在物理概念上的区别，其实数学上它们是等价的。更多物质导数的知识请见物质导数部分。

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