📖 等截面换热管流

1基本物理模型

本节所讨论的流动是只考虑换热对流动的影响，忽略其它因素，即流动是基于下列条件和假设的：

图1给出了等截面换热管流的物理模型，空气从截面1流到截面2的过程中，与外界交换的热量为𝚫𝑸，相应地气流的密度𝝆、压力𝒑、速度𝑽和温度𝑻都有所改变。

图1 等截面换热管流模型（有限控制体形式）

2积分关系式

根据图1，列出控制体连续方程

\({\rho _1}{V_1} = {\rho _2}{V_2}\)   或   \(\rho V=\text{Constant}\) （1）

式（1）中的\(\rho V\)为气流通过单位面积的流量，或称为密流。

控制体动量方程为

\[\left( {{p_1} - {p_2}} \right)A = \dot m\left( {{V_2} - {V_1}} \right)\]

把流量关系式\(\dot m = {\rho_1}{V_1}{A_1} = {\rho_2}{V_2}{A_2}\)带入并整理，可得

\({p_1} + {\rho _1}{V_1}^2 = {p_2} + {\rho _2}{V_2}^2\)   或   \(p + \rho {V^2} = {\text{Constant}}\) （2）

式（2）中的\(p + \rho {V^2}\)为气流单位面积的冲量（𝑭）。

控制体能量方程为

\[\Delta q = \left( {{h_2} + \frac{{{V_2}^2}}{2}} \right) - \left( {{h_1} + \frac{{{V_1}^2}}{2}} \right)\] （3）

焓方程和熵方程为

\[h_2 - h_1 = c_{\text{p}}\left( {T_2 - T_1} \right) = \frac{c_{\text{p}}}R\left( {\frac{p_2}{\rho _2} - \frac{p_1}{\rho _1}} \right)\] （4）
\[{{s}_{2}}-{{s}_{1}}={{c}_{\text{v}}}\ln \left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}} \right)-{R}\ln \left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)\] （5）

上面的式（1）到式（5）给出了上下游气体参数的关系，但还不够直观。如果把气流沿管道换热的过程画在𝑻-𝒔图或𝒉-𝒔图上，就可以更直观地分析参数的变化关系了。等截面换热管流在𝑻-𝒔图上的曲线称为瑞利
（John William Strutt,3rd Baron Rayleigh，
1842—1919），英国物理学家。 [人物] 线，下面我们来看看如何画出这样的曲线。

从连续方程式（1）和动量方程式（2）可知，等截面无摩擦流动中，流量和冲量沿流向保持不变。每一条瑞利线都是在单位面积的流量\(\rho V\)和单位面积的冲量\(p+\rho {V^2}\)保持不变时的曲线，不同的瑞利线对应着不同的\(\rho V\)和\(p+\rho {{V}^{2}}\)，因此，实际的瑞利线是在知道了这两者后画出来的。

根据熵的定义式可知，对于无耗散的系统，熵增代表了系统从外界吸热，熵减代表了系统向外界散热。这样，对于本节的无粘换热流动，我们就可以根据熵的变化来区分吸热和放热。瑞利图中，沿曲线向右的就是吸热过程，沿曲线向左的就是放热过程。可以从一个亚声速的初始条件出发，先给定马赫数、压力和温度、进而算出熵值（熵的绝对值不好定义，计算中的熵值是用式（5）计算的相对值），这样就得到了𝑻-𝒔图上的一点，然后给定一个小温升，对应一个熵增，可以计算出这时的其它气流参数。亚声速气流吸热时会加速，这样逐点递推下去，最后流动会达到声速。然后再让温升取负号，即让气体开始放热，流动会继续加速，可以接着计算出超声速部分的曲线。图2就是使用这种方法画出的瑞利线，图中每一条曲线上都代表了不同的初始条件，可以通过选择图下方的几个工况来观察具体的曲线。每个工况就代表亚声速进口条件时的气流参数，曲线的上半部代表亚声速情况，下半部代表超声速情况。

工况1：Ma=0.1, p=1×105 Pa, T=300 K
工况2：Ma=0.1, p=1×105 Pa, T=900 K
工况3：Ma=0.1, p=1×106 Pa, T=300 K
工况4：Ma=0.1, p=1×106 Pa, T=900 K
图2 空气在等截面换热管道中流动的瑞利线

3微分关系式

根据瑞利图可以得出很多有用的结论，不过在进行进一步分析之前，先给出等截面换热管流的微分关系式会比较方便。实际上，上述图2的绘制过程用了小增量递推法，就是微分的思想。图3给出了等截面换热管流的微控制体模型，在𝐝𝒙的长度内，气流与外界交换的热量为𝛅𝒒，相应地气流的密度、压力、速度和温度的增量分别为𝛅𝝆，𝛅𝒑，𝛅𝑽和𝛅𝑻。

图3 等截面换热管流模型（微控制体形式）

前述的积分关系式（1）和（2）的微分形式分别为

\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}V}{V}=0\] （6）
\[\text{d}p+\rho V\text{d}V=0\] （7）

声速公式在压力和密度之间建立了关系

\[c=\sqrt{\gamma \left( {p}/{\rho }\; \right)}\] （8）

从式（8）中解出密度𝝆，带入到式（7）中，可以消去密度，并整理得

\[\frac{\text{d}p}{p}+\gamma \frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}\frac{\text{d}V}{V}=0\]

速度与声速之比为马赫数，所以有

\[\frac{\text{d}p}{p}+\gamma M{{a}^{2}}\frac{\text{d}V}{V}=0\] （9）

对完全气体的状态方程\(p={\rho}RT\)两边取对数再微分，可得

\[\frac{\text{d}p}{p}=\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}T}{T}\] （10）

熵方程为

\[\text{d}s=\frac{\delta q}{T}={{c}_{\text{V}}}\frac{\text{d}T}{T}-R\frac{\text{d}\rho }{\rho }\] （11）

式（6）~（11）是基本物理关系式，现在来推导瑞利线的微分表达式。首先由式（9）得到

\[\frac{\text{d}p}{p}=-\gamma M{{a}^{2}}\frac{\text{d}V}{V}\]

带入到式（10）左侧，得

\[-\gamma M{{a}^{2}}\frac{\text{d}V}{V}\text{=}\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}T}{T}\] （12）

由式（6）得到

\[\frac{\text{d}V}{V}=-\frac{\text{d}\rho }{\rho }\]

带入到式（12）左侧，整理，得

\[\left( 1-\gamma M{{a}^{2}} \right)\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}T}{T}=0\]

把上式带入到式（11）中，消去\({\text{d}\rho }/{\rho }\;\)并整理，得到温熵关系式

\[\text{d}s=\frac{\gamma \left( M{{a}^{2}}-1 \right)R}{\left( \gamma -1 \right)\left( \gamma M{{a}^{2}}-1 \right)}\cdot \frac{\text{d}T}{T}\] （13）

因为比热是定值，所以温度的变化就对应着焓的变化，也可以得到如下的焓熵关系式

\[\text{d}s=\frac{\gamma \left( M{{a}^{2}}-1 \right)R}{\left( \gamma -1 \right)\left( \gamma M{{a}^{2}}-1 \right)}\cdot \frac{\text{d}h}{h}\] （14）

式（13）和（14）是瑞利线的微分形式。

下面我们来分析换热管流中各参数的变化。为便于理解，引入总温和总压，微分形式的总静温关系式和总静压关系式如下

\[\frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}=\frac{\text{d}T}{T}+\frac{\frac{\gamma -1}{2}\cdot \text{d}(M{{a}^{2}})}{1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}}}\] （15）
\[\frac{{{\text{d}}{p_{\text{t}}}}}{{{p_{\text{t}}}}} = \frac{{{\text{d}}p}}{p} + \frac{{\frac{\gamma }{2} \cdot {\text{d}}(M{a^2})}}{{1 + \frac{{\gamma - 1}}{2}M{a^2}}}\] （16）

总温的变化就对应了加热量的大小，即

\[\delta q = {c_{\text{p}}}{\text{d}}{T_{\text{t}}}\] （17）

于是以总温变化为自变量，从（6）、（7）、（10）、（11）、（15）和（16）得出以总温为自变量表示的各参数变化关系式如下

\[\frac{\text{d}T}{T}=\frac{\left( 1-\gamma M{{a}^{2}} \right)\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （18）
\[\frac{\text{d}p}{p}=-\frac{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)\gamma M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （19）
\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }=-\frac{1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （20）
\[\frac{\text{d}V}{V}=\frac{1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （21）
\[\frac{\text{d}Ma}{Ma}=\frac{\left( 1+\gamma M{{a}^{2}} \right)\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}{2\left( 1-M{{a}^{2}} \right)}\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （22）
\[\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}=-\frac{\gamma M{{a}^{2}}}{2}\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （23）
\[\frac{\text{d}s}{{{c}_{\text{p}}}}=\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)\cdot \frac{\text{d}{{T}_{\text{t}}}}{{{T}_{\text{t}}}}\] （24）

4流动参数分析

式（18）~（24）给出了加热或者冷却对管内气流参数的影响，现在把它们画成曲线来具体分析一下。图4画出了对进口条件为\(Ma=0.2\text{ }\)，\(T=300K\text{ }\)，\(p=100000\text{Pa}\text{ }\)的气流持续加热时的各参数沿流向的变化。图5画出了对进口条件为\(Ma=3.0\text{ }\)，\(T=407K\text{ }\)，\(p=7765\text{Pa}\text{ }\)的气流持续加热时的各参数沿流向的变化。（这两个状态是同一条瑞利线上的两点，在声速时状态参数相同。）

图4 对管道中亚声速流动的空气加热时各气流参数的变化
图5 对管道中超声速流动的空气加热时各气流参数的变化

从图4和图5可以看到，等截面换热管流的最大特点就是亚声速与超声速的表现非常不一样，可以总结成表1。

表1 等截面换热管流的参数变化
\[Ma<1\] \[Ma>1\]
加热 冷却 加热 冷却
𝑻𝐭 ↗ ↘ ↗ ↘
𝑻 ↗↘ ↘↗ ↗ ↘
𝒑 ↘ ↗ ↗ ↘
𝝆 ↘ ↗ ↗ ↘
𝑽 ↗ ↘ ↘ ↗
𝑴𝒂 ↗ ↘ ↘ ↗
𝒑𝐭 ↘ ↗ ↘ ↗

我们知道，气体是一种必须依靠外部压力才能保持聚集状态的物质，无论静止还是流动状态，气体的密度都只取决于其自身的温度和所受的外部压力，即满足气体状态方程\(p=\rho RT\)。气体在等截面管道中的换热流动是一种较复杂的流动，可以归类为多变过程。下面来证明这种流动的多变指数𝒏不是定值，而是与流动马赫数相关。

对连续方程（6）和动量方程（7）分别变形，可得

\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }=-\frac{\text{d}V}{V}\]
\[\frac{\text{d}p}{p}=-V\text{d}V\]

用第二个式子除以第一个，可以得到

\[\frac{\text{d}p}{\text{d}\rho }={{V}^{2}}\] （25）

也就是说，气体在等截面管道中定常流动时，压力相对密度的变化关系只由流速决定，流速越快，则单位密度改变造成的压力变化就越大。

对于多变过程，压力与密度的关系为

\[p/{{\rho }^n}\;=\text{C}\]

压力对密度的导数为

\[\begin{split} \frac{\text{d}p}{\text{d}\rho } &=\frac{\text{d}\left( \text{C}{{\rho }^{n}} \right)}{\text{d}\rho }=\text{C}\cdot n{{\rho }^{n-1}} \\ \\ & =\frac{p}{{{\rho }^{n}}}\cdot n{{\rho }^{n-1}}=n\frac{p}{\rho } \\ \end{split}\] （26）

不论气体实际经历的过程如何，其中声速的传播都可以看成是绝热过程，所以换热管流中的声速仍然为

\[c=\frac{\text{d}p}{\text{d}\rho }=\gamma \frac{p}{\rho }\] （27）

把式（27）带入到式（26）中，得

\[\frac{\text{d}p}{\text{d}\rho }=\frac{n}{\gamma }{c^2}\] （28）

比较式（28）和式（25）中，可得

\[n=\gamma M{{a}^{2}}\] （29）

可见，换热管流中的多变指数与绝热指数和马赫数相关。

对于多变过程，当𝒏=𝜸时，对应的是绝热流动，当𝒏≠𝜸时，气体会与环境有热量交换。可以用一种特殊的多变过程——等温过程来理解多变过程，等温过程的多变指数𝒏=1，气体的温度保持不变，那么压缩时对气体做的功需要通过向外传热散掉，膨胀时则需要从外界吸热用于对外做功。膨胀对应着气流的加速，而压缩对应着气流的减速。所以，反过来说，这时加热对应着气流的加速，冷却对应着气流的减速。

当然换热管流不是等温过程，但在亚声速时换热管流的定性表现是跟等温过程类似的，这是因为亚声速时换热管流的多变指数𝒏<𝜸，和等温过程类似。总得来说，对于多变过程，有如下规律：

现在来看看表1中各参数的变化。

对于亚声速流动，加热时，总温由于代表气流的总能量所以必然升高，这时𝒏<𝜸，气体膨胀加速，也就是密度和压力降低，速度增加。其余三个参数（𝑴𝒂，𝒑𝐭和𝑻）的变化则没那么直观，由于加热引起的速度变化比声速的变化大，所以马赫数也是增加的。总压则可以根据熵来判断，加热是熵增过程，所以总压是下降的。

温度的变化最违反直觉，既然是加热，气体的温度应该增加才对，但从图4可以看到，在马赫数增加到快接近声速时，有一段的温度是下降的，这时怎么回事呢？考察温度的关系式（18），发现亚声速时，如果\(1-\gamma M{{a}^{2}}<0\)，静温的变化与总温反号。这对应着\(M{{a}^{2}}>{1}/{\gamma }\)。显然\({1}/{\gamma }\)是一个关键的分界线，这个值有什么特殊的呢？

来看式（29），当\(M{{a}^{2}}={1}/{\gamma }\)时，\(n=1\)，我们知道这代表着等温过程。等温过程的意思是气体会把从外界吸收的热量全部用于对外做功；当\(n<1\)时，气体只把一部分吸收的热量用于对外做功，保留一部分产生自身的温度升高；而当\(n>1\)时，气体把全部吸收的热量对外做功还不够，还会额外拿出一部分自身原有的内能对外膨胀做功，因此吸热反而温度下降。

对于超声速流动，加热时，总温升高，这时𝒏>𝜸，气体收缩减速，也就是密度和压力增加，速度减小。由于加热引起减速，而总温是增加的，所以静温一定是增加的，从而声速是增加的，进一步得出马赫数减小的结论。总压和亚声速同理，也是减小的。

最后来总结一下等截面换热管流的特点。图6画出了某种进口条件下的等截面换热管流的𝑻-𝒔图（也就是瑞利图）和对应的𝒑-𝒗图

图6 等截面换热管流的𝑻-𝒔图和𝒑-𝒗图

可以看到p与v的关系是一条直线，这可以从连续方程（1）和动量方程（2）得到。把它们分别写为

\[\rho V={{\text{C}}_{1}}\] （30）
\[p+\rho {{V}^{2}}={{\text{C}}_{2}}\] （31）

从（30）中解出速度𝑽 ，带入到（31）中，整理，可得

\[p=-{{\text{C}}_{1}}^{2}\frac{1}{\rho }+{{\text{C}}_{2}}=-{{\text{C}}_{1}}^{2}v+{{\text{C}}_{2}}\] （32）

其中的𝒗是比体积，为密度的倒数。

从式（32）可以看出，在等截面换热管流中，压力与比体积呈线性关系，且为负相关。

另外，压力与比体积呈线性关系也可以说明多变指数是变化的，因为当多变指数为定值时，𝒑与𝒗的关系一定是曲线。图7画出了𝒑-𝒗图上各点处相应的定多变指数过程的曲线，可以看到随着马赫数的增加（对应𝒗的增加），多变指数是增大的。与声速那一点相切的曲线是绝热过程曲线，对应多变指数等于绝热指数（参见（29）式）。

图7 等截面换热管流和对应定多变指数过程的关系

5加热壅塞

从前面的分析可以看到，亚声速气流受热会加速，超声速气流受热会减速，也就是说加热总是使得气流的速度趋向于声速。这和收缩管道是类似的，气流流经收缩管道的效果也是趋向于声速。对于固定的亚声速进口条件，收缩管道会有一个临界面积比使气流达到声速，如果面积再减小，马赫数也不会再增加了。换热管道也类似，对于某一确定的进口条件，有一个确定的加热量让出口气流达到声速，这个加热量称为临界加热量，记为\(q_{\text{cr}}\)，用总温可以推导出临界加热量与起始气流参数的关系。

\[\begin{split} {q_{{\text{cr}}}} &= {c_{\text{p}}}({T_{{\text{t, cr}}}} - {T_{{\text{t, 1}}}}) \hfill \\ \\ &= {c_{\text{p}}}{T_{{\text{t, 1}}}}\left( {\frac{{{T_{{\text{t, cr}}}}}}{{{T_{{\text{t, 1}}}}}} - 1} \right) \hfill \\ \\ &= {c_{\text{p}}}{T_{{\text{t, 1}}}}\left\{ {{{\left[ {\frac{{z({\lambda _1})}}{2}} \right]}^2} - 1} \right\} \hfill \end{split} \] （33）

其中的𝝀是速度系数，\(z(\lambda )\)是冲量函数，\(z(\lambda )=\lambda +{1}/{\lambda }\)。

如果管道出口处已经达到了声速，继续给管道加热，会发生什么现象呢？从公式看，这时气流是无法再吸收热量的，那实际情况这时气流就真的不再吸热了吗？

当然不会的，实际情况是，这时如果延长管道，下游继续给气流加热的话，那么气流就无法保持现有的进口条件了。原因是加热使气流总温升高，总压降低，而声速时流量函数\(q(Ma)\)又已经达到最大，根据一维可压缩连续方程

\[\dot{m}=K\frac{{{p}_{\text{t}}}}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}Aq(Ma)\] （34）

流量会减小，于是气体在管内堆积，压力升高，并向上传到进口处，使进口的压力升高，马赫数降低，流量相应减小，直到和管内加热量匹配，让出口达到声速为止。平衡建立后，新的管道出口仍然是声速。

如果管内是超声速流动，那么气体堆积产生的压力升高信息不能直接传递到上游，二是会在管内局部产生激波，但产生激波后总压进一步下降，更加使气体堆积，激波会被推向上游，最终激波会被推出进口之外，使管内气流都变成亚声速的。

等截面换热管流是气体动力学理论中的一种经典的流动，但这种流动在实际中并不存在。主要原因是实际的管道流动是一种典型的粘性作用很强的流动。还有一个原因是保持流量不变这个条件也并不常见，实际的流动经常是保持进出口的压力不变，当加热量变化时，流量也会适应进出口条件而有所改变。

由于强制给定了定常、无粘、等截面和流量不变，使得流动中的密流和冲量保持为常数，本节中所有的结论都是基于此而推出的。所以本节的结论不能用于其它的复杂流动，比如气流绕机翼的流动，气流在收缩管道内的流动等等，这些流动的分析中，通常假定流动是绝热的，当必须考虑与外界的换热时，问题变得非常复杂，很难用简单的理论分析得到明确的变化关系了。

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