📖 连续方程
1积分形式的连续方程
根据质量守恒，流体在流动中质量保持不变。对于一个体系来说，有如下关系式
\[\frac{\text{d}{{m}_{\text{sys}}}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{sys}}{\rho \text{d}B}=0\]
这个式子中，下标“sys”表示体系，也就是特定的一团流体，它的质量当然是不变的了。等号右侧的积分号内是密度与微体积的乘积，经过体积分后就等于这团流体的质量。
上面的关系式是适用于体系的，也就是拉格朗日法
的描述。流体力学中一般都是用欧拉法
来描述流动，研究流体进出控制体的规律。应用雷诺输运定理可以把上式转换为适用于控制体的关系式。把雷诺输运定理公式中的𝜱换成质量𝒎，则𝝓代表单位体积的质量，也就是密度𝝆，有如下关系式
\[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{sys}}{\rho \text{d}B} \text{=}\frac{\partial }{\partial t}\iiint\limits_{\text{cv}}{\rho \text{d}B} \text{+}\iint\limits_{\text{cs}}{\rho ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{d}A\]
从上面两式我们可以得到适用于控制体的质量守恒关系式
\[\frac{\partial }{\partial t}\iiint\limits_{\text{cv}}{\rho \text{d}B}+\iint\limits_{\text{cs}}{\rho ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{ d}A=0\]
（1）
这个关系式称为控制体积分形式的连续方程，方程中各项的含义可参考图1。
图1 控制体积分形式方程的数学模型
在式（1）中，第一项表示单位时间内控制体内流体质量的增加量，第二项表示了单位时间内通过控制面流出该控制体的流体质量。该式的物理意义很清晰控制体内增加的流体只可能来源于边界的流入。
对于定常流动
，控制体内流体质量保持不变，式（1）中的第一项为零，于是有
\[\iint\limits_{\text{cs}}{\rho ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{ d}A=0\]
也就是说，对于定常流动，进出控制体的流体质量保持动态平衡，任一时刻从任何方向进入控制体多少质量，就必然同时从其他方向流出控制体同样多的质量。
对于一维定常流动，连续方程可以写成更为实用的形式，即
\[{{\dot{m}}_{\text{in}}}={{\dot{m}}_{\text{out}}}\]
式中， \(\dot{m}={\text{d}m}/{\text{d}t}\;\)表示单位时间通过某个截面的质量，称为流量
。图2给出了一维管道流动示意图，通过任一截面的流量可以表示为
\[\dot{m}=\frac{\rho \text{d}B}{\text{d}t}=\frac{\rho A\text{d}x}{\text{d}t}=\rho AV\]
图2 变截面管流中的流量连续
这个关系式也可以通过式（1）中的第二项直接得到。对于流动参数只沿流向变化的一维流动，任意流动截面上的密度和速度都是均匀的，可以提到积分号外面，于是有
\[\dot{m}=\iint\limits_{\text{cs}}{\rho ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{d}A=\rho AV\]
这样，一维定常流动的连续方程就可以写成工程上常用的形式，即
\[{{\rho }_{1}}{{A}_{1}}{{V}_{1}}={{\rho }_{2}}{{A}_{2}}{{V}_{2}}\]
（2）
其中的下标1和2代表了沿流向的不同截面，通常表示控制体的进口和出口。该式表明对于一维定常流动，任意截面处的管道截面积、密度和速度三者的乘积为常数。
进出口流量相等是保证流动定常的必要条件，因为如果进出口流量不相等，控制体内的流体就会堆积或者流失，也就是说控制体内的质量会随时间变化，就不是定常的了。图3表示了一个有进出口的容腔，当图中的进出口流量相等时，容腔内的流体质量保持恒定。因为容腔的体积不变，所以质量恒定就对应着密度不变，或者说流体是没有被压缩或者膨胀的。反过来说，当流体不可压缩
时，进出口的流量必然应该是相等的。
图3 进出口流量与控制体内质量的关系
当流动为不可压缩时，式（2）变为更为简单的形式
\[{{A}_{1}}{{V}_{1}}={{A}_{2}}{{V}_{2}}\]
（3）
式（3）表明当流体密度不变时，流速与截面积成反比。流体流经收缩通道会加速，流经扩张通道会减速。在图2中，如果流体微团的体积不变，管道收缩，则流体被横向压缩，其流向尺度将变大，流向速度因此会变大。
如果选取的流动截面处于收缩或扩张处，则式（2）是有一定误差的，这个误差的来源有两个，一个是速度在该截面上并不均匀，另一个是速度与该截面并不是处处垂直。实际应用中，只要保证所选取控制体的进出口处的流动是一维的，那么不管控制体内部的流动是怎样的，式（2）都是精确的。
下面的视频演示了流体经过收缩管道时的流动，可以看到截面积越小流速就越快。另外还可以看到，上部和下部的流体并不同时到达出口，上部的流体先到达。出口截面处的流速也不均匀。因此，严格说来收缩流动并不是一维流动，而至少是二维流动。
视频1 流体通过变截面管道流动时速度的变化
当处理二维或三维流动时，一维形式的连续方程就不好用了，这时应该使用微分形式的连续方程。数学上直接对积分形式的方程进行变换就可以得到微分形式的方程，直接针对微小控制体应用雷诺输运定理也可以得到微分形式的方程。这里我们先用第一种方法，再用第二种方法，分别得出微分形式的连续方程。
2从积分方程得到微分方程
把积分形式的连续方程重写如下
\[\frac{\partial }{\partial t}\iiint\limits_{\text{cv}}{\rho \text{d}B}+\iint\limits_{\text{cs}}{\rho ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{ d}A=0\]
上式的第二项可以通过高斯定理变换为体积分
\[\iint\limits_{\text{cs}}{\rho ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{d}A=\iiint\limits_{\text{cv}}{\nabla \cdot ( \rho \vec{V} )\text{d}B}\]
于是，连续方程可以变换为
\[\frac{\partial }{\partial t}\iiint\limits_{\text{cv}}{\rho \text{d}B}+\iiint\limits_{\text{cv}}{\nabla \cdot ( \rho \vec{V} )\text{d}B}=0\]
控制体的体积为不变量，因此微分符号可以放在积分符号内，上式可写为
\[\iiint\limits_{\text{cv}}{\frac{\partial \rho }{\partial t}\text{d}B}+\iiint\limits_{\text{cv}}{\nabla \cdot ( \rho \vec{V} )\text{d}B}=0\]
进一步得到
\[\iiint\limits_{\text{cv}}{\left[ \frac{\partial \rho }{\partial t}\text{+}\nabla \cdot \left( \rho \vec{V} \right) \right]\text{d}B}=0\]
要想上式对于任意控制体都成立，被积分项应该恒等于零，因此有
\[\frac{\partial \rho }{\partial t}\text{+}\nabla \cdot ( \rho \vec{V} )=0\]
（4）
式（4）就是微分形式的连续方程，它和积分形式方程的意义是一样的，不过是针对空间某一“点”
而言的。式（4）的第一项表示的是空间某一点处质量的增加量，第二项表示的是单位时间流出该点的质量。
3对微控制体分析得到微分方程
下面我们针对一个微小的控制体来推导连续方程。如图3所示，取一微小六面体作为控制体，该控制体共有6个控制面，分为3对，分别垂直于3个坐标轴。对于垂直于𝒙轴的两个面，如果左侧面处流速为𝒖，则根据流量公式，从左侧面进入控制体的流量为
\[{{\dot{m}}_{\text{left}}}=\rho u\text{d}A=\rho u\text{d}y\text{d}z\]
图4 进出微控制体的流量
从右侧面流出控制体的流量可以用泰勒展开表示成左侧面流量的函数
\[{{\dot{m}}_{\text{right}}}=\left[ \rho u+\frac{\partial \left( \rho u \right)}{\partial x}\text{d}x \right]\text{d}y\text{d}z\]
从这两个面净流出控制体的流量为
\[\begin{split}
\Delta {{{\dot{m}}}_{\text{out,}x}}&={{{\dot{m}}}_{\text{right}}}-{{{\dot{m}}}_{\text{left}}} \\ \\
& =\left[ \rho u+\frac{\partial \left( \rho u \right)}{\partial x}\text{d}x \right]\text{d}y\text{d}z-\rho u\text{d}y\text{d}z \\
\end{split}\]
整理后得
\[\Delta {{\dot{m}}_{\text{out,}x}}=\frac{\partial \left( \rho u \right)}{\partial x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
同理，另外两对面上净流出控制体的流量分别为
\[\Delta {{\dot{m}}_{\text{out,}y}}=\frac{\partial \left( \rho v \right)}{\partial y}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
\[\Delta {{\dot{m}}_{\text{out,}z}}=\frac{\partial \left( \rho w \right)}{\partial z}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
因此，单位时间内从控制体流出的总质量为
\[\begin{split}
\Delta &{{{\dot{m}}}_{\text{out}}}=\Delta {{{\dot{m}}}_{\text{out,}x}}+\Delta {{{\dot{m}}}_{\text{out,}y}}+\Delta {{{\dot{m}}}_{\text{out,}z}} \\ \\
& =\left[ \frac{\partial \left( \rho u \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( \rho v \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( \rho w \right)}{\partial z} \right]\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
\end{split}\]
另一方面，单位时间控制体内质量的增加可表示为
\[\Delta \dot{m}=\frac{\partial m}{\partial t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
根据质量守恒定律，控制体内流体质量的减少应该等于流出控制体的流体质量，因此有
\[\begin{split}
-&\frac{\partial \rho }{\partial t}\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\ \\
& =\left[ \frac{\partial \left( \rho u \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( \rho v \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( \rho w \right)}{\partial z} \right]\text{d}x\text{d}y\text{d}z \\
\end{split}\]
整理后可得
\[\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \left( \rho u \right)}{\partial x}+\frac{\partial \left( \rho v \right)}{\partial y}+\frac{\partial \left( \rho w \right)}{\partial z}=0\]
或写成矢量形式
\[\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot ( \rho \vec{V} )=0\]
（4）
这与前面通过积分变换得到的结果是完全相同的。
4连续方程的分析与理解
在式（4）中，第一项 \({\partial \rho }/{\partial t}\;\)是密度对时间的偏导数，代表了流动的非定常项。对于定常流动，这一项应该为零，从而使公式的第二项，单位时间流出控制体的质量 \(\nabla \cdot ( \rho \vec{V} )=0 \;\)也为零，即
\[\nabla \cdot (\rho \vec{V})=0\]
（5）
这是定常流动的连续方程。
对连续方程（4）中的两项还可以进行下列变换
\[\begin{split}
\frac{\partial \rho }{\partial t}\text{+}\nabla \cdot ( \rho \vec{V} ) &\text{=}\frac{\partial \rho }{\partial t}\text{+}( \vec{V}\cdot \nabla )\rho \text{+}\rho ( \nabla \cdot \vec{V} ) \\ \\
& \text{=}\frac{\text{D}\rho }{\text{D}t}\text{+}\rho ( \nabla \cdot \vec{V} ) \\
\end{split}\]
因此连续方程也可以写成如下的形式
\[\frac{\text{D}\rho }{\text{D}t}+\rho ( \nabla \cdot \vec{V} )=0\]
（4a）
式（4）与式（4a）在数学上是等价的，在物理意义上则有所不同。式（4）是针对微控制体的，可以解释为：控制体内质量的减少量等于流出控制体的质量。式（4a）则是针对微体系的，其第一项 \({\text{D}\rho }/{\text{D}t}\;\)表示单位时间内体系密度的增加量，第二项 \(\rho (\nabla \cdot \vec{V})\)与体系体积的增加有关，可以理解为：体系密度的增加对应体积的减小。
对于不可压缩流动， \({\text{D}\rho }/{\text{D}t}\;=0\)，由式（4a）可得
\[\nabla \cdot \vec{V}=0\]
（6）
或写为分量形式
\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0\]
（6a）
这就是不可压缩流动的连续方程。
因为速度的散度
\(\nabla \cdot \vec{V} \;\)代表了流体微团体积的变化率，公式（6）的物理意义是：对于不可压缩流动，流体微团的体积保持不变。
下面我们应用不可压缩流动的连续方程来分析一个简单流动中的流速变化规律。如图4所示，流体经过二维收缩通道，二维不可压缩流动的连续方程为
\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\]
图5 二维收缩通道的流速变化规律
工程上经常把这个流动看成是一维的，使用一维积分形式的不可压缩连续方程，即
\[{{A}_{1}}{{V}_{1}}={{A}_{2}}{{V}_{2}}\]
显然，根据一维的连续方程，当通道收缩时，沿流向的速度增加，即 \({\partial u}/{\partial x}>0\;\)。将其代入前面的二维连续方程中，可以得到 \({\partial v}/{\partial y}<0\;\)。在图4所示的收缩流动中，中心线以下的流体有向上的速度，即在这里 \(v>0\;\)；中心线上的流体没有垂直的速度， \(v=0\;\)；中心线以上的流体具有向下的速度 \(v<0\;\)。也就是说，从下壁面到上壁面，流体沿𝒚 方向的速度𝒗从正到零再到负，即收缩流动中必然有 \({\partial v}/{\partial y}<0\;\)，一维与二维方程得到的结论一致。
实际的工程问题没有绝对的一维流动，绝对的一维流动意味着速度没有横向的变化。从上面的分析可以看到，如果速度没有横向变化，那么速度也没有流向的变化，这样的流动就不用研究了。众多所谓的一维管流其实是三维流动，即使没有粘性影响，由于收缩和扩张的存在，其任一截面上的流速也可能是不均匀的，一维计算所用的流速是截面的平均流速，带有一定误差。
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