📖 角动量方程
1积分形式的角动量方程
角动量方程又称为动量矩方程，其本质是扩展的牛顿第二定律，即：单位时间内体系的角动量变化等于体系受到的合力矩
\[\sum{{\vec{T}}}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{sys}}{(\vec{r}\times \vec{V})\rho \text{d}B}\]
式中：𝑻为力矩；𝒓为体系的质心到原点的距离。
应用雷诺输运定理可以把上述关系式变成适合于控制体的形式
\[\sum{{\vec{T}}}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint\limits_{\text{cv}}{(\vec{r}\times \vec{V})\rho \text{d}B}+\iint\limits_{\text{cs}}{(\vec{r}\times \vec{V})\rho (\vec{V}\cdot \vec{n})\text{d}A}\]
（1）
对于如图1所示的在一个平面内的旋转流动问题，用柱坐标系表示比较方便，这时角动量方程简化为
\[\sum{{{T}_{z}}}=\dot{m}\left( {{r}_{2}}{{V}_{2\theta }}-{{r}_{1}}{{V}_{1\theta }} \right)\]
（2）
式中：下标𝒛为轴向，𝜽为周向，1和2表示了不同半径位置。按照惯例，1为进口，2为出口，进出口截面分别为不同半径上的圆柱面。该式的物理意义可以理解为：流体经过控制体时，其角动量的改变量等于控制体所受的合力矩。
图1 柱坐标下的旋转流动和分析
如果控制体所受合力矩为零，则进出口的角动量是相等的，即
\[{{r}_{2}}{{V}_{2\theta }}={{r}_{1}}{{V}_{1\theta }}\]
（3）
上式揭示了这样一种流动现象：当不受力矩作用时，流体从半径大的地方流向半径小的地方，其周向速度会增大。
观察水池排水时的流动，水在汇聚到排水口时通常会有较大的旋转速度。龙卷风和台风的风速之所以很大，也是因为流体从半径大的地方汇聚到了半径小的地方。一般来说，只有粘性力能提供力矩，但其比起惯性力和压力要小得多，因此很多流动都可以看成没有力矩的流动。定量来看，当半径减半时，切线速度增加为原来的2倍，于是角速度会变为原来的4倍，这种加速作用是很强的。
对处于这种螺旋加速运动中的任何流体微团来说，其沿流向的加速当然是因为受流向力造成的，这个驱动力是由谁提供的呢？既然是无黏流动，那么必然是压差力了。图1(b)表示了内外的压差是如何提供这个驱动力的，流体微团沿螺旋形的流线加速运动，压力下降，速度增加。
2微分形式的角动量方程
只分析流体微团绕𝒛轴的旋转，取一个矩形的流体微团，其所受的切应力如图2所示，针对该微团应用角动量方程，就可以得到微分形式的角动量方程。
图2 流体微团的旋转
在图2中，以逆时针为正，微团所受到的力矩为：
\[\begin{align}
\delta T& =\left[ {{\tau }_{xy}}\cdot \frac{\text{d}x}{2}+\left( {{\tau }_{xy}}+\frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}\text{d}x \right)\cdot \frac{\text{d}x}{2} \right]\text{d}y \\
& -\left[ {{\tau }_{yx}}\cdot \frac{\text{d}y}{2}+\left( {{\tau }_{yx}}+\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}\text{d}y \right)\cdot \frac{\text{d}y}{2} \right]\text{d}x \\
& =\left[ \left( {{\tau }_{xy}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}\text{d}x \right)-\left( {{\tau }_{yx}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}\text{d}y \right) \right]\text{d}x\text{d}y \\
\end{align}\]
微团的转动惯量为
\[\frac{1}{12}\rho \text{d}x\text{d}y\left[ {{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{\left( \text{d}y \right)}^{2}} \right]\]
角加速度为
\[\frac{{{\text{d}}^{2}}\theta }{\text{d}{{t}^{2}}}\]
因此，有如下关系式
\[\begin{align}
& \left[ \left( {{\tau }_{xy}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}\text{d}x \right)-\left( {{\tau }_{yx}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}\text{d}y \right) \right]\text{d}x\text{d}y \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\frac{1}{12}\rho \text{d}x\text{d}y\left[ {{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{\left( \text{d}y \right)}^{2}} \right]\frac{{{\text{d}}^{2}}\theta }{\text{d}{{t}^{2}}} \\
\end{align}\]
即
\[\begin{align}
& \left[ \left( {{\tau }_{xy}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}\text{d}x \right)-\left( {{\tau }_{yx}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}\text{d}y \right) \right] \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\frac{1}{12}\rho \left[ {{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{\left( \text{d}y \right)}^{2}} \right]\frac{{{\text{d}}^{2}}\theta }{\text{d}{{t}^{2}}} \\
\end{align}\]
在该式右端项中，\({{{\text{d}}^{2}}\theta }/{\text{d}{{t}^{2}}}\)代表角加速度，是一个有限的值，而与之相乘的\({{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{\left( \text{d}y \right)}^{2}}\)为二阶小量，因此右端项为二阶小量，可以忽略，于是得
\[{{\tau }_{xy}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{xy}}}{\partial x}\text{d}x={{\tau }_{yx}}+\frac{1}{2}\frac{\partial {{\tau }_{yx}}}{\partial y}\text{d}y\]
进一步忽略一阶小量，可得
\[\tau_{xy}=\tau_{yx}\]
同理也可以得出绕另外两个坐标轴的关系式，从而有
\[{{\tau }_{xy}}={{\tau }_{yx}},\quad {{\tau }_{yz}}={{\tau }_{zy}},\quad {{\tau }_{zx}}={{\tau }_{xz}}\]
（4）
这就是微分形式的角动量方程。由这个结果可知，流体中的应力是对称张量，只有六个独立分量。
针对微元体的角动量方程就是这样的简单形式，并已经包含在动量方程中了，因此一般并不特别提起有微分形式的角动量方程。它的物理意义也十分明确：对于流体微团，切应力产生的力矩可以忽略。因为对于尺寸无穷小的微团，任何有限大小的力矩都将产生无穷大的角加速度。
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