📖 流体的运动与变形
1流体微团的一般运动
视频1表示了在运动时，一块原本是矩形的流体在经过一段时间后，不但运动了一定的距离，还产生了复杂的变形。描述这种运动不能用刚体运动学，那么我们如何来描述这种看起来很复杂的运动呢？
视频1 流体微团在运动中的变形
我们把上面视频中的二维收缩通道的流动画出来，如图1所示，在位置①取一个矩形的流体微团，它在向下游流动的过程中，将发生持续的变形。把位置①和位置②处的微团放在一起比较，就能看出微团的变形。这种变形运动的原因是微团内各部分的运动速度不一样。无论流体的运动形式有多复杂，在微团的尺度上都可以认为变形是线性的（即可以忽略二阶及以上的小量），从而可以把运动分解为几种简单的运动或变形的叠加，即图2所示的四种基本运动：整体平移、整体旋转、线变形（拉伸和压缩）和角变形（剪切变形）。
图1 流体经过二维收缩通道的变形（鼠标悬停或点击重放）
图2 流体微团一般运动的分解
对于流体微团，变形就是内部各质点空间位置的改变。如图2所示，取其中的两点进行观察，𝐏点作为参考点，𝐀点代表微团中任意一点，其与𝐏点的空间距离在三个方向上分别为𝐝𝒙，𝐝𝒚和𝐝𝒛。任一时刻，𝐏点的速度可以表示为
\[{{\vec{V}}_\text{P}}(t,x,y,z)\]
同一时刻A点的速度可表示为
\[{{\vec{V}}_\text{A}}(t,x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)\]
同一时刻A点的速度可表示为
\[\begin{split}
{{{\vec{V}}}_{\text{A}}}& (t,x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z) \\
& ={{{\vec{V}}}_{\text{P}}}(t,x,y,z)+{{\left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial x} \right)}_{\text{P}}}\delta x+{{\left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial y} \right)}_{\text{P}}}\delta y+{{\left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial z} \right)}_{\text{P}}}\delta z \\ \end{split}\]
这里忽略了二阶以上小量，因此上式只有当𝐀点与𝐏点的距离无限小时才精确成立。两点的速度差写成分量形式为
\[\begin{split}
{{{\vec{V}}}_{\text{A}}}-{{{\vec{V}}}_{\text{P}}}& =\left[ {{\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}_{\text{P}}}\delta x+{{\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)}_{\text{P}}}\delta y+{{\left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)}_{\text{P}}}\delta z \right]\vec{i} \\
& +\left[ {{\left( \frac{\partial v}{\partial x} \right)}_{\text{P}}}\delta x+{{\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right)}_{\text{P}}}\delta y+{{\left( \frac{\partial v}{\partial z} \right)}_{\text{P}}}\delta z \right]\vec{j} \\
& +\left[ {{\left( \frac{\partial w}{\partial x} \right)}_{\text{P}}}\delta x+{{\left( \frac{\partial w}{\partial y} \right)}_{\text{P}}}\delta y+{{\left( \frac{\partial w}{\partial z} \right)}_{\text{P}}}\delta z \right]\vec{k} \\
\end{split}\]
从上式可以看出，𝐀点相对𝐏点速度的变化可以用速度分量的9个偏导数表示，这9个偏导数也就是𝐏点处的3个速度分量分别沿3个坐标方向的变化率，它们表示了流体微团的所有变形方式，并且组成了一个二阶张量如下
\[\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}=\left[ \begin{split}
\frac{\partial u}{\partial x} & \ \ \frac{\partial u}{\partial y} & \ \ \frac{\partial u}{\partial z} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \ \ \frac{\partial v}{\partial y} & \ \ \frac{\partial v}{\partial z} \\
\frac{\partial w}{\partial x} & \ \ \frac{\partial w}{\partial y} & \ \ \frac{\partial w}{\partial z} \\
\end{split} \right]\]
（1）
式（1）包含了流体微团内任意相邻两点之间所有相对运动形式的描述，包括旋转、线变形和角变形，一般运动都是由这3种运动叠加得到的。因此，应该可以把公式（1）改写成三项叠加的形式，分别表示这3种运动，变化后的形式如下
\[\begin{split}
\frac{\partial {{u}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}& =\left[ \begin{split}
& \frac{\partial u}{\partial x} \quad 0 \quad \ \ 0 \\
& \ \ 0 \quad \frac{\partial v}{\partial y} \quad 0 \\
& \ \ 0 \quad \ \ 0 \quad \frac{\partial w}{\partial z} \\
\end{split} \right] \\ \\
& +\left[ \begin{split}
& \qquad \quad \ \ 0 \qquad \qquad \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x} \right) \qquad \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x} \right) \\
& \frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \right) \qquad \qquad 0 \qquad \qquad \quad \ \ \frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial y} \right) \\
& \frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial z} \right) \quad \frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \right) \qquad \qquad \quad 0 \\
\end{split} \right] \\ \\
& +\left[ \begin{split}
& \qquad \quad \ \ 0 \qquad \qquad \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right) \qquad \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \right) \\
& \frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \right) \qquad \qquad 0 \qquad \qquad \quad \ \ \frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \right) \\
& \frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z} \right) \quad \frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} \right) \qquad \qquad \quad 0 \\
\end{split} \right] \\
\end{split}\]
（2）
式（2）中，第一个矩阵是对角矩阵，有3个独立变量；第二个矩阵是反对称矩阵，也有3个独立变量；第三个矩阵是对称矩阵，也有3个独立变量。因此，从式（1）变换到式（2）后，流体的变形仍然是由9个独立分量构成。接下去我们将分别证明，式（2）中第一个矩阵代表了流体微团的线变形；第二个矩阵代表了流体微团的整体旋转；第三个矩阵代表了流体微团的角变形。
2流体微团的线变形
如图3所示，取一个矩形的流体微团，在运动过程中它的变形方式仅仅是沿𝒙方向伸长。假设该微团的左侧边运动速度为𝒖，则右侧边的运动速度可以表示为
\[u+\frac{\partial u}{\partial x}\delta x\]
图3 流体微团在𝒙方向的伸长（鼠标悬停或点击重放）
经过一小段时间𝐝𝒕，其右侧边相对左侧边多运动的距离为
\[\left( \frac{\partial u}{\partial x}\delta x \right)\delta t\]
因此，该微团沿𝒙方向的相对伸长量为
\[{\left( \frac{\partial u}{\partial x}\delta x \right)\delta t}/{\delta x}\;=\frac{\partial u}{\partial x}\delta t\]
单位时间内的相对伸长量为
\[{\left( \frac{\partial u}{\partial x}\delta t \right)}/{\delta t}\;=\frac{\partial u}{\partial x}\]
这表示了该微团沿𝒙方向的线变形率。
同理，也可以得到另外两个方向的线变形率，从而流体微团的线变形率可以用如下3个量来表示
\[\frac{\partial u}{\partial x},\text{ }\frac{\partial v}{\partial y},\text{ }\frac{\partial w}{\partial z}\]
这3个量就是式（2）中第一个矩阵中的3个量，可见这个矩阵表示了流体微团的线变形。
对于图3所示的情况来说，流体微团只在𝒙方向伸长，在其他两个方向不发生变化，这时该微元体的体积增大了，显然这是一种可压缩流动。如果流动是不可压缩的，则流体微团在一个方向上伸长，在另两个方向上至少有一个会缩短。这种变形可以通俗地表示为：拉伸使物体变长变细，压缩使物体变短变粗。下面我们来看看在不可压缩流动中的线变形是怎样的。
对于图3所示的变形，𝒙方向的线变形造成的体积变化为
\[d{{\left( \delta B \right)}_{x}}=\delta y\delta z\left( \frac{\partial u}{\partial x}\delta x \right)\delta t\]
同理，另外两个方向的线变形造成的体积变化分别为
\[d{{\left( \delta B \right)}_{y}}=\delta z\delta x\left( \frac{\partial v}{\partial y}\delta y \right)\delta t\]
\[d{{\left( \delta B \right)}_{z}}=\delta x\delta y\left( \frac{\partial w}{\partial z}\delta z \right)\delta t\]
总的体积变化为这三者之和
\[\begin{align}
d\left( \delta B \right)& =d{{\left( \delta B \right)}_{x}}+d{{\left( \delta B \right)}_{y}}+d{{\left( \delta B \right)}_{z}} \\
& =\left( \frac{\partial u}{\partial x}\delta x\delta y\delta z+\frac{\partial v}{\partial y}\delta x\delta y\delta z+\frac{\partial w}{\partial z}\delta x\delta y\delta z \right)\delta t \\
\end{align}\]
单位时间内的相对体积变化量称为体积变化率，可以表示为
\[\begin{align}
\frac{1}{\delta B}\frac{d\left( \delta B \right)}{dt}& =\frac{1}{\delta x\delta y\delta z}\left( \frac{\partial u}{\partial x}\delta x\delta y\delta z+\frac{\partial v}{\partial y}\delta x\delta y\delta z+\frac{\partial w}{\partial z}\delta x\delta y\delta z \right) \\
& =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} \\
& =\nabla \cdot \vec{V} \\
\end{align}\]
可见，流体微团的体积变化率就是其速度的散度\(\nabla \cdot \vec{V}\)。很显然对于不可压缩流动，流场中各处速度的散度都应该为零。
3流体微团的刚体旋转
如图4所示，流体微团绕某一轴转动。设图中𝐀点的两个速度分量分别为𝒖和𝒗，则𝐁点沿𝒚轴方向的速度可以表示为
\[{{v}_{\text{B}}}=v+\frac{\partial v}{\partial x}\delta x\]
图4 流体微团的旋转（鼠标悬停或点击重放）
以逆时针方向为正，𝐀𝐁边绕𝐁点的旋转角速度为
\[{{\Omega }_{\text{AB}}}=\frac{{{v}_{\text{B}}}-v}{\delta x}=\frac{\frac{\partial v}{\partial x}\delta x}{\delta x}=\frac{\partial v}{\partial x}\]
𝐃点沿𝒙轴方向的速度可以表示为
\[{{v}_{\text{D}}}=u+\frac{\partial u}{\partial y}\delta y\]
𝐀𝐃边绕𝐀点的旋转速度为
\[{{\Omega }_{\text{AD}}}=\frac{u-{{u}_{\text{D}}}}{\delta y}=\frac{-\frac{\partial u}{\partial y}\delta y}{\delta y}=-\frac{\partial u}{\partial y}\]
如果流体微团是做刚体旋转的，则这两个角速度应该相等，即\({{\Omega }_{\text{AB}}}={{\Omega }_{\text{AD}}}\)，对于一般情况，流体微团在旋转的同时还有角变形，其角速度应该用所有质点旋转角速度的平均值来表示。可以证明，在流体微团内取任意两条互相垂直的直线，它们的旋转角速度的平均值就相当于所有质点的角速度的平均值。因此，𝐀𝐁和𝐀𝐃的旋转角速度的平均值就是流体微团的旋转角速度，于是就得到了流体微团绕𝒛轴的旋转角速度为
\[{{\Omega }_{z}}=\frac{1}{2}\left( {{\Omega }_{\text{AB}}}+{{\Omega }_{\text{AD}}} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \right)\]
同理可得流体微团绕𝒙轴和𝒚轴的角速度分别为
\[{{\Omega }_{x}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \right)\]
\[{{\Omega }_{y}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x} \right)\]
这3个角速度就是式（2）中第二个矩阵中的3个独立分量，可见这个矩阵表示了流体微团的旋转运动。
4流体微团的角变形
如图5所示，𝐀𝐁和𝐀𝐃两条边各转动一个角度，造成了\(\angle BAD\)的改变，流体微团发生了角变形，或称为剪切变形。如前所述，𝐁点和𝐃点的速度分别为
\[{{v}_{\text{B}}}=v+\frac{\partial v}{\partial x}\delta x\]
\[{{u}_{\text{D}}}=u+\frac{\partial u}{\partial y}\delta y\]
图5 流体微团的角变形（鼠标悬停或点击重放）
单位时间内𝐀𝐁和𝐀𝐃的转动造成的\(\angle BAD\)变化量分别为
\[\delta {{\alpha }_{\text{B}}}={\frac{\left( {{v}_{\text{B}}}-v \right)\cdot \delta t}{\delta x}}/{\delta t}\;=\frac{\partial v}{\partial x}\]
\[\delta {{\alpha }_{\text{D}}}={\frac{\left( {{u}_{\text{D}}}-u \right)\cdot \delta t}{\delta y}}/{\delta t}\;=\frac{\partial u}{\partial y}\]
单位时间内\(\angle BAD\)的总变化量为上面两项之和
\[\delta \alpha =\delta {{\alpha }_{\text{B}}}+\delta {{\alpha }_{\text{D}}}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\]
\(\angle BAD\)的变化量代表了𝒙-𝒚平面内的角变形，单位时间内的角变形称为角变形率，一般用𝜺表示。由上面的推导可知，流体微团在直角坐标定义的3个平面内的角变形率分别为
\[\begin{split}
& {{\varepsilon }_{xy}}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \\
& {{\varepsilon }_{yz}}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \\
& \text{ }{{\varepsilon }_{zx}}=\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z} \\
\end{split}\]
这3个角变形率分别是式（2）中第三个矩阵的3个独立分量的2倍，因此这个矩阵表示了流体微团的角变形。
所谓的角变形，是指变形时包含角度的变化，当一种变形不产生任何角度变化时，这种变形只能是膨胀和收缩。图3所示的那种单向拉伸的线变形其实并不是纯粹的线变形，而是包含角变形的。如图6所示，左图是包含角变形的，而右侧则是不包含角变形的。当物体的变形不包含角变形时，其中任何图案在变形前后都是相似的，严格来说物体的形状并没有变化，变化的是大小。因此可以这样说，所有的变形都包含角变形。
图6 只有膨胀和收缩是不含有角变形的（鼠标悬停或点击重放）
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