📖 膨胀波前后的气流参数关系

无论是膨胀波还是弱压缩波，对气流来说都是小扰动，气流经过它们时可以看作是等熵流动，因此气流参数的计算都可以用绝能等熵关系式得出。为了分析和计算方便，通常把压力波分为左伸波和右伸波。定义为：顺着气流方向看，从近到远，朝左侧伸展的叫左伸波，朝右侧伸展的叫右伸波。当气流方向为从左到右，而壁面在下方时，膨胀波和压缩波都是左伸波，如果壁面在上方，则它们都是右伸波，如图1所示。左伸波的马赫角为正，右伸波的马赫角为负；左伸压缩波的气流偏转角为正，左伸膨胀波的气流偏转角为负；右伸压缩波的气流偏转角为负，右伸膨胀波的气流偏转角为正。有了这些定义之后，我们就可以用统一的关系式来描述各种弱波前后的气流关系式，下面就来推导这些关系式。

图1 左伸波和右伸波的定义

我们以左伸膨胀波为例进行推导，如图2所示。气流经过膨胀波后，压力、温度和密度减小，流速增大，过程是等熵的，气流的总参数保持不变。因此，只需要知道来流的马赫数（或速度系数），就可以得出其他气流参数。

取沿波面方向为切向，用𝒕表示，与波面垂直方向为法向，用𝒏表示，将波前波后的流速𝑽𝟏和𝑽𝟐分别分解为与波面平行和垂直的分量，对于图示控制体，由连续方程有

\[{{\rho }_{1}}{{V}_{1n}}={{\rho }_{2}}{{V}_{2n}}\]

气流经过膨胀波后密度降低，因此速度增加， \({{V}_{1n}}<{{V}_{2n}}\)。

沿波面方向压力不变，气体不受力，动量方程为

\[\sum{{{F}_{t}}}={{\rho }_{1}}{{V}_{1n}}A\left( {{V}_{2t}}-{{V}_{1t}} \right)=0\]

从而有

\[{{V}_{2t}}={{V}_{1t}}\] （1）

即超声速气流经过膨胀波后沿波面方向的分速度不变，而垂直波面方向的速度增加，从而使气流朝离开波面的方向折转一个角度。

图2 气流经过膨胀波的速度变化

一道膨胀波产生的气流参数变化是无限小的，应该使用微分关系来分析，气流转过的角度为𝐝𝜽，速度从𝑽增加为𝑽+𝐝𝑽 ，把上下游的速度画在一起，如图2右图所示。角度以逆时针为正，所以此处𝐝𝜽为负值，马赫角与转角之和应该表示为𝝁-𝐝𝜽。对于无限小转角𝐝𝜽，由图示的三角关系可得

\[\tan \left( \mu -\text{d}\theta \right)=-\frac{\text{d}V}{V\text{d}\theta }\]

由于转角𝐝𝜽比马赫角𝝁小得多，故 \(\tan \left( \mu -\text{d}\theta \right)\approx \tan \mu \)，上式可以写成

\[\frac{\text{d}V}{V}=-\text{ d}\theta \tan \mu \]

又从马赫角的关系式可得

\[\tan \mu =\frac{1}{\sqrt{M{{a}^{2}}-1}}\]

从而有

\[\frac{\text{d}V}{V}=-\frac{\text{d}\theta }{\sqrt{M{{a}^{2}}-1}}\] （2）

这就是超声速气流绕小角度外折壁面流动的速度变化关系式。可以看到，速度变化只与来流马赫数和壁面转角有关。

式（2）中的速度可以消掉，得到气流转角与来流马赫数的关系。根据 \(V=Ma\cdot c\)，对其两端取对数再微分，可得

\[\frac{\text{d}V}{V}=\frac{\text{d}Ma}{Ma}+\frac{\text{d}c}{c}\] （a）

由声速关系式

\[c=\sqrt{\kappa RT}\]

和绝能流动关系式

\[\frac{{{T}_{\text{t}}}}{T}=1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}}\]

可得

\[{{c}^{2}}=\kappa RT={\kappa R{{T}_{\text{t}}}}/{\left( 1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}\;\]

对上式左右取对数再微分，注意到总温不变，最后可得

\[\frac{dc}{c}=-\frac{\frac{\left( \kappa -1 \right)}{2}Ma}{1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}}}\text{d}Ma\] （b）

把式（b）代入到式（a）中，可以消去声速𝒄，得到

\[\frac{\text{d}V}{V}=\frac{\text{d}Ma}{Ma}-\frac{\frac{\left( \kappa -1 \right)}{2}Ma}{1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}}}\text{d}Ma\] （c）

把式（c）代入到前面的式（2）中，消去速度𝑽，可以得到气流转角与马赫数的关系如下

\[\text{d}\theta =-\frac{\sqrt{M{{a}^{2}}-1}}{2M{{a}^{2}}\left( 1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}\text{d}M{{a}^{2}}\] （3）

这个关系式建立了气流转角与马赫数变化的关系，假设现在一道膨胀波使马赫数由1.5增加到1.51，则可以估算出气流转角为 \(\text{d}\theta \approx {{0.017}^{\circ }}\)。式（3）是微分关系式，使用它来计算有限大的转角不太方便，对其积分后可得

\[\begin{split} \theta =& -\sqrt{\frac{\kappa +1}{\kappa -1}}\arctan \sqrt{\frac{\kappa -1}{\kappa +1}\left( M{{a}^{2}}-1 \right)} \\ & +\arctan \sqrt{M{{a}^{2}}-1}+{{C}_{1}} \\ \end{split}\] （4）

式（4）这个由马赫数构成的函数较为复杂，传统上定义一个特殊函数来方便计算，这个函数称为普朗特—迈耶函数，用𝝂表示

\[\begin{split} \nu \left( Ma \right)=& \sqrt{\frac{\kappa +1}{\kappa -1}}\arctan \sqrt{\frac{\kappa -1}{\kappa +1}\left( M{{a}^{2}}-1 \right)} \\ & -\arctan \sqrt{M{{a}^{2}}-1} \\ \end{split}\] （5）

于是，对于左伸波，有

\[\theta +\nu \left( Ma \right)={{C}_{1}}\] （6）

于是，对于右伸波，有

\[\theta -\nu \left( Ma \right)={{C}_{2}}\] （7）

实际流动中通常已知起始的马赫数和气流角，从而上面两式中的积分常数𝑪𝟏和𝑪𝟐就是已知的。式（6）和（7）也可以写成上下游参数之间的关系

\[{{\theta }_{1}}\pm \nu \left( M{{a}_{1}} \right)={{\theta }_{2}}\pm \nu \left( M{{a}_{2}} \right)\] （8）

其中的“+”对应左伸波，“-”对应右伸波。

以前的工程计算为了方便，事先把不同马赫数的𝝂计算并列成表格，计算时查表，不过现在一般采用计算机编程计算，直接用公式计算更方便准确。图3给出了绝热指数为常数1.4时的普朗特—迈耶函数曲线。


图3 绝热指数为常数1.4时的普朗特—迈耶函数曲线

现在来看一种特殊的情况，折角前的气流速度不是超声速，而是正好等于声速，经过外折角后，气流加速到𝑴𝒂𝟐，如图4所示。由于声速时普朗特—迈耶函数为0，而一开始壁面角度𝜽𝟏也是0，应用式（8），并注意到这里是左伸波，有

\[{{\theta }_{2}}=-\nu \left( M{{a}_{2}} \right)\]

如果是右伸波，则有

\[{{\theta }_{2}}=\nu \left( M{{a}_{2}} \right)\]

气流转角的大小为

\[\delta =\left| {{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}} \right|=\nu \left( M{{a}_{2}} \right)\]

可见转角的大小就等于普朗特—迈耶函数。所以，普朗特—迈耶函数的物理意义就是气流从声速膨胀到超声速时所转过的角度，因此也称为普朗特—迈耶角。

在图4中，进口气流为声速，所以马赫角为90°，出口气流为超声速，马赫角为锐角。图中第一道膨胀波与最后一道膨胀波的夹角，即气流从声速开始膨胀至某一个马赫数时扇形膨胀区的角度，称为马赫波极角，用𝝋表示。可以看到马赫波极角的大小为

\[\varphi ={{90}^{\circ }}+\left| \delta \right|-\left| \mu \right|\] （9）
图4 声速气流的转折与膨胀

马赫波极角代表了气流从声速开始膨胀时的膨胀区扇形夹角，更一般的情况是气流从某一超声速的马赫数开始膨胀，这时膨胀扇区夹角为

\[\varphi =\left| {{\mu }_{1}}-{{\mu }_{2}} \right|+\left| \delta \right|\] （10）

可见膨胀扇区夹角总是比壁面转角大一些。

当气流绝能等熵地膨胀到最大速度 \(V_\text{max}\)时，马赫数趋于无穷，而普朗特—迈耶角则是一个有限值。把 \(Ma=\infty\)代入到式（5.6）中，可得

\[\nu \left( Ma \right)=\left( \sqrt{\frac{\kappa +1}{\kappa -1}}-1 \right){{90}^{\circ }}\]

按照绝热指数为1.4计算，这个角度约为130.45°，也就是说，声速气流理论上最大可以绕过130.45°的转角，如果壁面的转角比这个还大，则剩余的角度内不会有气体，而是形成真空，如图5所示。当然，这只是一个理论值，实际气流是有黏性的，而且马赫数过高时就不符合理想气体了。

图5 超声速气流的理论最大折转角

之所以用外折壁面来推导膨胀波的关系式，是因为这种流动简单易懂，实际上只要超声速气流加速就会有膨胀波，未必都是壁面外折产生的。比如，从喷管中射流出来的超声速气流，如果其静压比环境空气的静压大，气流就会膨胀，这时会在喷口处产生一系列的膨胀波，如图6所示。气流会持续转折和加速，直到其静压与下游静压相等，这个静压对应着一个马赫数，用这个马赫数可以计算出气流的转折角，以及膨胀扇区夹角等参数。处理实际实际流动问题时，根据已知的不同，可能需要计算气流转角、马赫数、马赫角和膨胀扇区夹角等参数，下面举两个例子，来看一下具体计算过程。

图6 喷管外的膨胀波

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