弱扰动在气体中的传播速度是声速,已经在流体中的声速中进行了推导。声速只与气体的种类和温度有关,与扰动的形式和振动频率等都无关。所谓的微弱扰动,就是气体压力、温度流速等的改变都是一个无限小量,可以用𝐝𝒑,𝐝𝑻 和𝐝𝑽 来表示的意思。声音就是这样一种扰动,在气体中传播的声音并不会改变气体的宏观参数。相对于微弱扰动,炸弹爆炸产生的爆炸波则是一种强扰动,其传播速度是超声速的。
在介质中传播的波速是扰动相对于介质的速度,对于站在地面上的人来说,声音顺风传播和逆风传播的速度不一样。顺风传播的速度是声音速度加上气流速度,即𝒄+𝑽 ,逆风传播的速度是声音速度减去气流速度,即𝒄-𝑽 。显然风速越大这种差距就越明显,如果是在超声速风洞里,气流速度比声速还大,则声音完全没办法迎风传播,在上游就听不到声音了。考虑三维的情况,如果人站在扰动源的侧面呢?能否听到声音则要取决于人的相对位置。
我们从最简单的情况开始研究,把声源简化成一个点,这个点可以是一个微小物体自身振动产生压力扰动,也可以是气流绕它流动产生的压力波动,压力扰动的形式可以是单次振动、周期振动或连续的压力变化。为了能清楚地看见一个个的波,便于分析,现在假设点扰动是每隔固定时间产生一次,每次产生一道波,多次扰动形成一系列间断的球形扩散的波,如图1和图2所示。
固定的点扰动在运动气体中的传播等同于点扰动在静止气体中的运动,为了方便论述,我们这里只分析点扰动以不同的速度在静止气体中运动的情况。
如图3(a)所示,在静止的空气中,一点的扰动以声速向四周传播。经过时间𝛅𝒕,𝟐𝛅𝒕,𝟑𝛅𝒕和𝟒𝛅𝒕后,扰动到达半径分别为𝒄·𝛅𝒕,𝒄·𝟐𝛅𝒕,𝒄·𝟑𝛅𝒕,𝒄·𝟒𝛅𝒕四个同心球面的位置。
若点扰动以亚声速V 向左匀速运动,如图3(b)所示。它在每一位置发生的扰动都以该点为圆心向外扩展,经过时间𝟒𝛅𝒕后,点运动到距原位置左侧𝑽·𝟒𝛅𝒕处,而最初的压力波发展到距该点当前位置右侧(𝒄+𝑽)·𝟒𝛅𝒕处和左侧(𝒄−𝑽)·𝟒𝛅𝒕处。扰动沿不同方向的传播速度都不同。
若点扰动以声速𝒄向左匀速运动,如图3(c)所示。由于点向左的运动速度与波速相同,经过时间𝟒𝛅𝒕后,点运动到距原位置左侧𝒄·𝟒𝛅𝒕处,而过程中点扰动产生的波也都正好传播到这里。压力波在右侧最远达到距点原位置𝒄·𝟒𝛅𝒕,距点当前位置𝟐𝒄·𝟒𝛅𝒕处。压力波向左侧传播速度为0,所有压力波在通过扰动点且与其运动垂直方向堆积成一道较强的压力波,没有压力扰动可以影响此道波的左侧。
若点扰动以超声速𝑽向左匀速运动,如图3(d)所示。经过时间𝟒𝛅𝒕后,点运动到距原位置左侧𝑽·𝟒𝛅𝒕处,而同方向运动的波才到达原位置𝒄·𝟒𝛅𝒕的左侧,落后于点(𝑽−𝒄)·𝟒𝛅𝒕的距离。扰动传播的区域被局限在以扰动点为顶点,向点运动反方向延伸的圆锥内,如图4所示。这个锥面是弱扰动可能到达的边界,称为马赫波面,相应的圆锥称为马赫锥。圆锥的半顶角称为马赫角,用符号𝝁表示,其大小可由几何关系得到如下
可见,马赫角完全由点扰动与气体的相对运动马赫数决定,𝑴𝒂越大,𝝁越小;𝑴𝒂越小,𝝁越大。当𝑴𝒂=𝟭时, 𝝁=𝟵𝟬°,即图3(c)所示的情况。
当气体相对物体以声速或超声速流动时,物体产生的压力扰动不能传遍全流场,这与亚声速流动有重大的不同。图5分别给出了圆球处于亚声速和超声速气流中的情况。与点产生的弱扰动或弱波不同,这时圆球对流场的压力产生较大的影响,不再是微小变化,因此超声速时形成的不再是马赫波,而是无数马赫波叠加而成强扰动——激波。激波不再是弱扰动,因为激波前后的气流压力变化 很大,所以激波是一种强波。这个强波的传播速度相对于来流是超声速的,所以可以稳定在球的前方而不被球超越。
真实的超声速流动基本都是如图5右图所示那种较为复杂的流动,为了简化问题,先研究基本原理,需要用简化的模型。一个点产生的压力扰动的强度随着球面扩散迅速下降,因此在锥形马赫波的不同位置压力扰动幅度并不相同,如图6所示。可见,点扰动只适合研究弱扰动,如果这个点产生的是强扰动,由于沿马赫波不同位置波的强度都不一样,波速也会有所不同,就比较复杂了。
研究超声速流动中的弱波和强波经常使用的模型是二维无黏气流绕壁面转角的流动。当忽略黏性时,气流无论以亚声速还是超声速沿平直而光滑的壁面流动都是不受扰动的。当壁面上有一个小凸起或凹陷时,就会在这里产生压力波,图7给出了超声速气流沿几种简单形状壁面的二维流动,可以看到,壁面内折或外折都对流场有扰动,从而产生激波或一系列马赫波。这其中最简单的理想情况是壁面一次无限小的内折或外折,对应着一道弱压缩波或膨胀波的情况,即图中的(d)和(e)。
图7中,不同的壁面产生不同的压力波,内折的壁面对气流有阻碍,压缩气流,产生压缩波;外折的壁面对气流是一种释放,气流膨胀,产生膨胀波。连续变化的曲面形成的内凹和外凸壁面则产生无数道压缩波和膨胀波。当壁面突然内折一个有限大角度时,产生的是一道很强的压缩波,也就是激波,气流经过激波后突然向内转折一个角度,与下游壁面平行。当壁面突然外折一个有限大角度时,产生的是无数道膨胀波,气流经过这些膨胀波后逐渐地外折到某个角度,与下游壁面平行。图8和图9通过动画展示了平壁面逐渐变为内折或外折时,超声速气流的转向及所生成的激波或膨胀波。
这里所说的压缩波和膨胀波就对应着压力变化的形式,使压力跃升的波就是压缩波,使压力降低的就是膨胀波,图10给出了压缩波和膨胀波对应的压力变化的示意图。无数道弱压缩波可以合成一道强压缩波,也就是激波,而无数道膨胀波通常倾向于散开而 不合在一起,所以流场中不会存在定常的强膨胀波。
从工程实际角度来说,弱波一般就指膨胀波,个别情况可能涉及弱压缩波,而强波几乎总是指激波。弱波都是马赫波,气流经过弱波后参数变化是无穷小量,可以看成是绝能等熵的变化,所以弱波可以用绝能等熵关系来分析。激波不是马赫波,气流经过激波后参数变化较大,不能用等熵关系来分析。