📖 物质导数
1物质导数
不只是速度，在欧拉法中，各种流体性质随时间的变化都要用这种全导数来表示，比如压力和密度
\[\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\frac{\partial p}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )p\]
\[\frac{\text{d}\rho}{\text{d}t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\rho\]
这种表示方法有一个专有的名词，称为物质导数，或随体导数，通常用大写的𝐃来表示物质导数，已表示它与一般的全导数在物理概念上的区别，其实数学上它们是等价的。如果用𝜱来表示流体的一般性质，物质导数的表达式为
\[\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}=\frac{\partial \Phi}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\Phi\]
（1）
与加速度的定义类似，该式中右边的第1项称为当地项，第2项称为对流项。
物质导数在空间点和流体质点之间建立起了关系，可以在欧拉坐标下用空间点来描述流体质点的性质变化。雷诺输运定理也起到相同的作用，那么它们之间是什么关系呢？
实际上，物质导数和雷诺输运定理是一回事，物质导数是针对点的，雷诺输运定理是针对有限大小的空间的。或者说，物质导数是微分形式的关系式，而雷诺输运定理是积分形式的关系式，它们之间可以互相转化。
2物质导数和雷诺输运定理
先把物质导数和雷诺输运定理的关系式分别写出如下
\[\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}=\frac{\partial \Phi}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\Phi\]
\[\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{sys}}}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}{{\Phi }_{\text{cv}}}}{\text{d}t}+\iint\limits_{\text{cs}}{\phi ( \vec{V}\cdot \vec{n} )\text{d}A}\]
上面两式的对应各项具有相同的物理意义，如下表所示
表1 物质导数和雷诺输运定理的关系
| 流体性质𝜱的变化 |
\({\text{D}\Phi }/{\text{D}t}\;\) |
流体质点的𝜱随时间的变化 |
| \({\text{d}{{\Phi }_{\text{sys}}}}/{\text{d}t}\;\) |
体系的𝜱随时间的变化 |
| 当地项 |
\({\partial \Phi }/{\partial t}\;\) |
空间点的𝜱随时间的变化 |
| \({\text{d}{{\Phi }_{\text{cv}}}}/{\text{d}t}\;\) |
控制体的𝜱随时间的变化 |
| 对流项 |
\((\vec{V}\cdot \nabla )\Phi \) |
单位时间净流出空间点的𝜱 |
| \(\iint\limits_{\text{cs}}{\phi ( \vec{V}\cdot \vec{n} )}\text{d}A\) |
单位时间净流出控制体的𝜱 |
下面来证明物质导数和雷诺输运定理的等价性。先把雷诺输运定理写成更一般的积分形式
\[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{sys}}{\phi \text{d}B}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{cv}}{\phi \text{d}B}+\iint\limits_{\text{cs}}{\phi ( \vec{V}\cdot \vec{n} )\text{d}A}\]
（2）
其中的𝐝𝑩表示微元体积（Body），𝐝𝑨表示微元面积。
对于式（2）右端的第一项，控制体的体积𝑩是一个不变量，因此对𝝓和𝑩两者乘积的导数就只剩下了对𝝓的偏导数这一项，即
\[\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{cv}}{\phi \text{d}B}=\iiint\limits_{\text{cv}}{\frac{\partial \phi }{\partial t}\text{d}B}\]
对于式（2）右端的第二项使用高斯定理
\[\iint\limits_{\text{cs}}{\phi (\vec{V}\cdot \vec{n})\text{d}A}=\iiint\limits_{\text{cv}}{\nabla \cdot (\phi \vec{V})\text{d}B}\]
其中右端项积分号内的表达式可展开为
\[\nabla \cdot (\phi \vec{V})=(\vec{V}\cdot \nabla )\phi +\phi (\nabla \cdot \vec{V})\]
于是式（2）右端的两项可写为
\[\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{cv}}&{\phi \text{d}B}+\iint\limits_{\text{cs}}{\phi (\vec{V}\cdot \vec{n})\text{d}A} \\
&=\iiint\limits_{\text{cv}}{\left[ \frac{\partial \phi }{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\phi +\phi (\nabla \cdot \vec{V}) \right]\text{d}B}
\end{split}\]
（3）
对于式（2）的左端项，体系的体积不是固定的，因此不能直接把微分符号作用于积分符号内，而是要考虑这个体积的变化，现推导如下
\[\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\limits_{\text{sys}}{\phi \text{d}B}&=\iiint\limits_{\text{cv}}{\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\text{d}B}+\iiint\limits_{\text{sys}}{\phi \frac{\text{d(}\delta B\text{)}}{\text{d}t}} \\
&=\iiint\limits_{\text{cv}}{\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\text{d}B}+\iiint\limits_{\text{sys}}{\phi \frac{\text{d(}\delta B\text{)}}{\text{d}t}\frac{1}{\delta B}\delta B} \\
&=\iiint\limits_{\text{cv}}{\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\text{d}B}+\iiint\limits_{\text{cv}}{\phi (\nabla \cdot \vec{V})\text{d}B} \\
&=\iiint\limits_{\text{cv}}{\left[ \frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}+\phi (\nabla \cdot \vec{V}) \right]\text{d}B} \\
\end{split}\]
（4）
上面这个推导中使用了一个概念，就是速度的散度代表了体系体积的变化
\[\nabla \cdot \vec{V}=\frac{1}{\delta B}\frac{\text{d(}\delta B\text{)}}{\text{d}t}\]
将式（3）和式（4）代入式（2）中，可得
\[\begin{split}
\iiint\limits_{\text{cv}}&{\left[ \frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}+\phi (\nabla \cdot \vec{V}) \right]\text{d}B}\\
&=\iiint\limits_{\text{cv}}{\left[ \frac{\partial \phi }{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\phi +\phi (\nabla \cdot \vec{V}) \right]\text{d}B}
\end{split}\]
因为控制体是任意取的，所以两边的积分符号都可以去掉，从而可以得到
\[\frac{\text{D}\phi }{\text{D}t}=\frac{\partial \phi }{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\phi \]
（5）
这就是物质导数的公式。
上述推导过程不是很严谨，主要体现在𝐝和𝛅的混用上，采用这种不严谨的推导方式主要是为了在物理概念上更易理解。
─ ☕ ─
相关知识 👇