📖 流线坐标
在分析流动问题时，有时采用相对于当地流动方向的坐标更容易理解问题。例如，图1所示的流动中，既可以采用相对空间固定的坐标，也可以采用相对当地流线的坐标。在流线坐标中，用𝒔表示流向，𝒏表示与流向垂直的法向，分别用单位矢量\(\; \vec{s} \;\)和\(\; \vec{n} \;\)表示。
图1 绕机翼流动与流线坐标
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使用流线坐标最大的好处是速度永远都是沿着其中一个坐标方向（\(\; \vec{s} \;\)）的，因此流体速度的变化就可以分解为速度大小的变化和速度方向的变化两部分。不过，流线坐标也有很大的问题，就是必须先知道流线才能确定坐标，这是很矛盾的，因为流线是求解之后才能得到的。所以，流线坐标通常用来定性地判断流动。
定义了流向和法向单位矢量后，速度矢量可以表示为
\[\vec{V}=V\vec{s}\]
对于定常流动，加速度矢量可以表示为
\[\vec{a}=\frac{\text{D}\vec{V}}{\text{D}t}={{a}_{s}}\vec{s}+{{a}_{n}}\vec{n}\]
这里的\( {a_s} \)和\( {a_n} \)分别表示流向加速度和法向加速度。流向加速度引起速度大小的改变，法向加速度引起速度方向的改变，任意时刻的法向加速度其实也就是当时的向心加速度。
当使用流线坐标时，速度的方向总是已知的，未知的只有速度的大小，所以流向加速度和法向加速度都应该只与速度大小有关，下面就来推导这个关系式。
加速度是速度对时间的全导数，即
\[\vec{a}=\frac{\text{D(}V\vec{s})}{\text{D}t}=\frac{\text{D}V}{\text{D}t}\vec{s}+V\frac{\text{D}\vec{s}}{\text{D}t}\]
把上式中的两个物质导数展开，得
\[\begin{split} \vec{a} &=\left( \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial s}\frac{\text{d}s}{\text{d}t}+\frac{\partial V}{\partial n}\frac{\text{d}n}{\text{d}t} \right)\vec{s} \\
& +V\left( \frac{\partial \vec{s}}{\partial t}+\frac{\partial \vec{s}}{\partial s}\frac{\text{d}s}{\text{d}t}+\frac{\partial \vec{s}}{\partial n}\frac{\text{d}n}{\text{d}t} \right) \\ \end{split}\]
上式中，流动为定常，所以\({\partial V}/{\partial t}=0\)且\({\partial \vec{s}}/{\partial t}=0\)，另外，流向坐标对时间的导数就是速度\({\text{d}s}/{\text{d}t}=V\)，流体质点沿流线运动，法向随时间变化为零\({\text{d}n}/{\text{d}t}=0\)。把这些关系式带入到上式中，得
\[\vec{a}=\left( V\frac{\partial V}{\partial s} \right)\vec{s}+V\left( V\frac{\partial \vec{s}}{\partial s} \right)\]
（1）
上式中的\({\partial \vec{s}}/{\partial s}\;\)表示了流动方向的变化，这是因为\(\; \vec{s} \;\)是单位矢量，大小恒等于1，只有方向是变化的。图2给出了流动方向变化与曲线的曲率半径之间的关系，可以看到，三角形AOB与三角形A'O'B'是相似的，所以有
图2 法向加速度与流线曲率半径的关系
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\[\frac{\delta s}{R}=\left| \frac{\delta \vec{s}}{{\vec{s}}} \right|=\left| \delta \vec{s} \right|\]
于是有
\[\left| \frac{\delta \vec{s}}{\delta s} \right|=\frac{1}{R}\]
从图2还可以看出，当\(\delta s \to 0 \;\)时，\(\delta \vec{s}\;\)的方向为法向。根据导数的定义，有
\[\frac{\partial \vec{s}}{\partial s}=\underset{\delta s\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\delta \vec{s}}{\delta s}=\frac{1}{R}\vec{n}\]
把上式带入到式（1）中，可得
\[\vec{a}=V\frac{\partial V}{\partial s}\vec{s}+\frac{{{V}^{2}}}{R}\vec{n}\]
（2）
或者写成分量形式
\[{{a}_{s}}=V\frac{\partial V}{\partial s},\text{ }{{a}_{n}}=\frac{{{V}^{2}}}{R}\]
（3）
流向加速度表示了流体速度大小的改变程度，法向加速度表示了流体速度方向的改变程度，也就是向心加速度。在图1中，流线是向着机翼弯曲的，于是法向加速度指向机翼表面。从力学角度可知，向心力是压差力提供的，下部流线的压力应该小于上部流线的压力，这可以解释为什么这个地方机翼表面的压力低于外部未受扰动的大气压力。
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