📖 张量表示法
张量是数学中的一种表示方法，这里不涉及复杂的张量运算，只简单介绍张量表示法，目的是通过本部分的学习让读者能看懂一般流体力学中所使用的张量表示法。张量最早是由高斯提出的，并由汉密尔顿命名，用于表示较为复杂的变量。我们知道，标量就表示一个数，而矢量则表示一个数和一个方向，一个物体的质量是一个数，因此是标量；物体的速度则是矢量，不但要知道大小，还需要知道其指向才能完全确定这个量。张量则更进一步，用来表示一个数和几个方向的量。比如，固体或流体内部的应力就不能简单地用矢量表示，因为它由三个要素决定：一个是大小，一个是指向，还需要知道其作用面。这个作用面也是一种方向，用这个截面的法向来表示。比如 \(\tau_{xy}\) 表示了作用在法向为 \(x\) 的平面上指向 \(y\) 方向的应力,而 \(\tau_{yx}\) 表示了作用在法向为 \(y\) 的平面上指向 \(x\) 方向的应力，如图1所示。
图1 应力适合用张量表示
应力有9个分量，用标量表示的话需要9个变量，用矢量表示的话需要三个变量，而如果用张量表示，则只需要一个变量即可，这就是张量的作用。
1. 用1,2,3替换x,y,z
在三维空间中，张量有 \(3^N\) 个分量，称其为三维空间内的 \(N\) 阶张量：
当 \(N=0\) 时， \(3^N=1\) ，称为0阶张量，这时张量只有1个分量，其实就表示标量。
当 \(N=1\) 时， \(3^N=3\) ，称为1阶张量，这时张量有3个分量，其实就表示矢量。
当 \(N=2\) 时， \(3^N=9\) ，称为2阶张量，这时张量有9个分量，一般提到张量时都指2阶张量。
为了方便表示张量，并可以扩展到多维空间，张量中不使用 \((x, y, z)\) 来表示坐标方向，而是使用 \((x_1, x_2, x_3)\) ,速度也不使用 \((u, v, w)\) 而是使用
\((u_1, u_2, u_3)\) 。
2. 自由标
如果一个变量有一个下标，则这个下标可以任意取1,2,3，这样这个变量就有3个分量，因此它是一个矢量，或者说是1阶张量，比如
\[x_i=x_j=x_k=x_m={x_1}\vec i + {x_2}\vec j + {x_3}\vec k\]
\[u_i={u_1}\vec i + {u_2}\vec j + {u_3}\vec k\]
\[\frac{\partial }{{\partial {x_i}}} = \vec i\frac{\partial }{{\partial {x_1}}} + \vec j\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} + \vec k\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}\]
下标可以用任意字母表示，意思都是一样的，都表示1,2,3，习惯上优先用 \(i,j,k,m,n\) ,上面第一个式子是空间坐标矢量，第二个式子是速度矢量，第三个式子不是一个变量，而是一个微分算子。
如果一个变量有两个不一样的下标，则这两个下标都可以任意取1,2,3，这样这个变量就有9个分量，因此它是一个2阶张量，比如
\[{\tau _{ij}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\tau _{11}}}&{{\tau _{12}}}&{{\tau _{13}}} \\
{{\tau _{21}}}&{{\tau _{22}}}&{{\tau _{23}}} \\
{{\tau _{31}}}&{{\tau _{32}}}&{{\tau _{33}}}
\end{array}} \right]\]
\[\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_3}}}} \\
{\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_3}}}} \\
{\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_3}}}}
\end{array}} \right]\]
注意两个下标必须是不一样的字母才表示二阶张量，如果两个下标的字母一样，就不是自由标，而是哑标。
3. 哑标
如果某一项的下标中有两个字母相同，则它们同时取1,2或3，并且取和，这称为爱因斯坦取和约定，是爱因斯坦发明的表示方法。比如
\[{\tau _{ii}} = {\tau _{11}} + {\tau _{22}} + {\tau _{33}}\]
\[{F_i}{V_i} = {F_1}{V_1} + {F_2}{V_2} + {F_3}{V_3}\]
\[\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_i}}} = \frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_1}}} + \frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_2}}} + \frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_3}}}\]
上面三个式子中，第一个是两个相同的下标出现在同一个变量中，根据爱因斯坦取和约定，分别取1,2,3并取和。这个变量在固体力学和流体力学中实际上表示了三个主应力之和。第二个式子的哑标分别出现在不同的变量中，这时单独看两个变量的下标都是自由标，因此各有3个分量，分别表示矢量，两项相乘则表示矢量的点乘，等于各分量相乘取和。这个式子表示了力与速度的点乘，表示了单位时间内的机械功。第三个式子的哑标分别出现在微分的不同变量中，这个式子其实表示了速度的散度。如果用传统的矢量表示法，上面三个式子中的后两个分别可以写为
\[\vec F \cdot \vec V = {F_x}{V_x} + {F_y}{V_y} + {F_z}{V_z}\]
\[\nabla \cdot \vec V = \frac{{\partial {V_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {V_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {V_z}}}{{\partial z}}\]
4. 自由标和哑标同时在一项中
如果自由标和哑标同时出现在一项中，则哑标按照爱因斯坦取和约定，而自由标分别取1,2,3，比如
\[\begin{split}
{u_{\text{j}}}\frac{{\partial {u_{\text{i}}}}}{{\partial {x_{\text{j}}}}} &= \left( {{u_{\text{1}}}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_1}}} + {u_2}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_2}}} + {u_3}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_3}}}} \right)\vec i \hfill \\
&+ \left( {{u_{\text{1}}}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_1}}} + {u_2}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_2}}} + {u_3}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_3}}}} \right)\vec j \hfill \\
&+ \left( {{u_{\text{1}}}\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_1}}} + {u_2}\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_2}}} + {u_3}\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_3}}}} \right)\vec k \hfill \\
\end{split} \]
上式中， \(i\) 为自由标， \(j\) 为哑标，因此j取1,2,3并取和，j则分别取1,2,3。如果改变一下 \(i\) 和 \(j\) 的位置，则有下式，大家可以自行体会一下
\[\begin{split}
{u_{\text{j}}}\frac{{\partial {u_{\text{j}}}}}{{\partial {x_{\text{i}}}}} &= \left( {{u_{\text{1}}}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_1}}} + {u_2}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_1}}} + {u_3}\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_1}}}} \right)\vec i \hfill \\
&+ \left( {{u_{\text{1}}}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_2}}} + {u_2}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_2}}} + {u_3}\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_2}}}} \right)\vec j \hfill \\
&+ \left( {{u_{\text{1}}}\frac{{\partial {u_1}}}{{\partial {x_3}}} + {u_2}\frac{{\partial {u_2}}}{{\partial {x_3}}} + {u_3}\frac{{\partial {u_3}}}{{\partial {x_3}}}} \right)\vec k \hfill \\
\end{split} \]
5. 克罗内克 \( \delta \)
克罗内克 \( \delta \) 是一种数学表示法，在线性代数里面也有广泛使用，其规定如下
\[{\delta _{{\text{ij}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 \qquad i \ne j} \\
{1 \qquad i = j}
\end{array}} \right.\]
或用矩阵表示为
\[\left[ {{\delta _{{\text{ij}}}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1
\end{array}} \right]\]
在一般的关系式中，在某一项上乘以 \( \delta_{ij} \) 可以起到“开关”的作用，当 \(i=j\) 时，
\( \delta_{ij} \) 不起作用，当 \(i \ne j\) 时，整个项为0。
6. 一些例子
(1). 一个自由标的变量为矢量，比如
\[F_i=F_1 \vec {e_1} +F_2 \vec {e_2} +F_3 \vec {e_3}=F_x \vec i +F_y \vec j +F_z \vec k \]
\[V_i=V_1 \vec {e_1} +V_2 \vec {e_2} +V_3 \vec {e_3}=V_x \vec i +V_y \vec j +V_z \vec k \]
\[a_i=a_1 \vec {e_1} +a_2 \vec {e_2} +a_3 \vec {e_3}=a_x \vec i +a_y \vec j +a_z \vec k \]
(2). 两个自由标的变量为2阶张量，比如
\[{\tau _{{\text{ij}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\tau _{11}}}&{{\tau _{12}}}&{{\tau _{13}}} \\
{{\tau _{21}}}&{{\tau _{22}}}&{{\tau _{23}}} \\
{{\tau _{31}}}&{{\tau _{32}}}&{{\tau _{33}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\tau _{xx}}}&{{\tau _{xy}}}&{{\tau _{xz}}} \\
{{\tau _{yx}}}&{{\tau _{yy}}}&{{\tau _{yz}}} \\
{{\tau _{zx}}}&{{\tau _{zy}}}&{{\tau _{zz}}}
\end{array}} \right]\]
需要注意的是，张量并不是矩阵，只是借助于矩阵来表示。作为比较，矢量可以表示为分量和单位矢量相乘的形式，也可以表示为列向量的形式如下
\[\vec V = {V_x}\vec i + {V_y}\vec j + {V_z}\vec k = {V_x}\overrightarrow {{e_x}} + {V_y}\overrightarrow {{e_y}} + {V_z}\overrightarrow {{e_z}} \]
\[\vec V = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_x}} \\
{{V_y}} \\
{{V_z}}
\end{array}} \right]\]
类似地，二阶张量除了使用二阶矩阵来表示外，也可以使用类似于矢量的分量和单位矢量相乘的方式来表示，如下
\[\begin{split}
{\tau _{ij}} = {\tau _{ij}}{{\vec e}_i}{{\vec e}_j} &= {\tau _{11}}{{\vec e}_1}{{\vec e}_1} + {\tau _{12}}{{\vec e}_1}{{\vec e}_2} + {\tau _{13}}{{\vec e}_1}{{\vec e}_3} \hfill \\
&+ {\tau _{21}}{{\vec e}_2}{{\vec e}_1} + {\tau _{22}}{{\vec e}_2}{{\vec e}_2} + {\tau _{23}}{{\vec e}_2}{{\vec e}_3} \hfill \\
&+ {\tau _{31}}{{\vec e}_3}{{\vec e}_1} + {\tau _{32}}{{\vec e}_3}{{\vec e}_2} + {\tau _{33}}{{\vec e}_3}{{\vec e}_3} \hfill \\
\end{split} \]
在上面各项中都有两个单位矢量，这两个矢量不是相乘的关系，而是表示这个分量的两个方向，对于应力来说，如前所述，一个方向是作用面，另一个方向是指向。
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