变截面管流指的是流动只受横截面积的影响的流动，有如下假设：
对于绝热无黏一维流动，微分形式的三大方程如下
连续方程：
\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}V}{V}+\frac{\text{d}A}{A}=0\] （1）动量方程：
\[\frac{\text{d}p}{\rho }+V\text{d}V=0\] （2）能量方程：
\[{{c}_{\text{p}}}\text{d}T+\text{d}\left( \frac{{{V}^{2}}}{2} \right)=0\] （3）对于不可压缩流动，我们知道流速与横截面积成反比关系，收缩对应着加速，扩张对应着减速。对于可压缩流动，为了考察流速与横截面积的关系，我们需要从连续方程（1）中消去密度，也就是说需要额外的关系来确定密度的变化规律，这个额外的关系就是动量方程。
由于流动为绝热等熵，动量方程（2）的第一项可以进行如下变换
代入到式（2）中，有
两边同时除以𝒄2，并注意到\({V}/{c}\;=Ma\)，有
把式（4）带入连续方程（1）中，可得
式（5）是可压缩流动的重要关系式，从这个式子我们可以得到一些有用的结论如下：
从上面的这些流动特征我们可以总结出一个重要结论，在定常流动中，如果要想让气体从亚声速等熵加速到超声速，通道需要先收缩再扩张。同样，如果想让气体从超声速等熵减速到亚声速，通道也需要先收缩再扩张。需要注意的是这些结论只适用于定常流动，非定常流动则不受此局限。比如炸弹爆炸时，向外扩散的气体从静止开始加速到超声速，整个过程气体流动的横截面是呈球面扩张的，相当于一直扩张。
用式（1）~（3）不只可以得出流速随横截面积的变化，也可以推导出其它气流参数随横截面积的变化。
首先把式（5）变换为速度随横截面积变化的关系式
把式（6）代入到式（4）中，可得密度随横截面积的变化关系式
根据等熵关系式\({p}/{{{\rho }^{\gamma }}}\;=\text{Constant}\)，可得其微分形式为
把式（7）代入到上式中，整理可得静压随横截面积的变化关系式
根据理想气体状态方程\(p=\rho RT\)，可得其微分形式为
把式（7）和（8）代入上式中，可得温度随横截面积的变化关系式
根据马赫数的定义式\(Ma={V}/{\sqrt{\gamma RT}}\;\)，对其取微分，可得
把式（6）和（9）代入上式中，可得温度随横截面积的变化关系式
式（6）~（10）给出了变截面管流中各气流参数随横截面积的变化规律，接下来我们将对这些变化规律进行分析。
首先来看横截面积变化对马赫数的影响，根据（10）式可以得出马赫数变化量（\({\text{d}Ma}/{Ma}\;\)）与面积变化量（\({\text{d}A}/{A}\;\)）的比值随马赫数的变化关系，即
把上式画成曲线，如图1所示。从这个图可以看到的一个结论是，亚声速时扩张对应减速，超声速时扩张对应加速，这我们已经知道了。这里要强调的是另外两个重要的现象，一是这条曲线在马赫数等于1附近纵坐标趋向于正负无穷大，也就是说当气流的速度接近声速时，速度对于面积的变化非常敏感；二是当马赫数较大时，曲线的纵坐标趋向于一个定值：
即在高超声速流动中，马赫数随面积线性增加，但要注意这是基于定比热假设的结论，并不完全适合实际的高超声速流动。
由于声速附近的流动对面积变化的敏感性，这时的流动特别不好控制。假设有一个流动，来流马赫数为0.95，这时马赫数对面积的敏感度为
面积只要稍有误差，比如由于加工误差使面积小了0.5%，马赫数就会增加到1（从0.95到1约增加5.3%），使流动有可能变成超声速，或产生壅塞（壅塞的概念将在本节的后面讲述）。
想要进行声速附近的风洞试验是相当困难的事。即使精心设计的风洞可以实现接近于声速的流动，放入实验模型后流场也会变得面目全非，而更难控制的是模型和风洞壁面的边界层厚度的影响。在高超声速飞行器的进气道中，最难解决的问题之一就是激波与边界干涉后产生的局部分离泡会改变通道面积，从而使流动明显偏离设计状态。
飞机都要尽量避免在声速附近飞行，而是要在加减速时快速地越过这一门槛。一个重要原因就是在声速附近飞行时，微小的流动或者飞机姿态的改变，就可能会使表面的流动从亚声速变为超声速，或者反过来，从而使飞机表面的激波形式发生重大的变化。这种不断的变化会产生较大的气动力和力矩的变化，对飞机的结构强度和操控产生威胁。由于声速附近流动的这种复杂性，专门派生出了一个“跨声速流动”分支来进行研究。
为了比较各流动参数随横截面积的变化，需要把流动分为亚声速和超声速两种情况来讨论，现在给出两种初始条件如下：
并假设扩张管道为截面积从1.0线性扩张到1.5，收缩管道为截面积从1.0线性收缩到0.6。用（6）~（9）可以计算出各参数沿管道的变化，并画出曲线如图6-4所示。
从这个图可以看出，当流动为亚声速时，受面积变化影响最大的是速度，其它参数变化较小；当流动为超声速时，受面积变化影响最小的反而是速度，其它参数变化都较大。这种不同是压力信息在亚声速和超声速流动中传播的不同所决定的，下面进行具体的分析。
根据等熵流动的特点，压力和温度的变化都与密度的变化有固定的关系，即
可见对于空气和常见的双原子气体（\(\gamma =1.4\)），压力变化是密度变化的1.4倍，温度变化时密度变化的0.4倍，即这三者的变化量级相同。
密度随速度的变化关系就不那么容易理解了，前面我们已经给出了密度与速度之间的关系，即式（4）
从该式可以看到，马赫数越大，密度的变化量就越大，亚声速时，密度的变化量小于速度的变化量，超声速时，密度的变化量大于速度的变化量。如何从物理上理解这种变化呢？这个问题需要展开讨论，我们专门用一节来进行。
定常流动必须满足连续方程
对于真实的流动，在有壁面摩擦力、换热、相变和化学反应等条件下，密度r、流速V和横截面积A这三个参数的变化规律较为复杂，通常并不容易确定其中任何两个参数之间关系。最简单的情况是其中一个参数保持不变，于是另两个参数成反比关系。比如当流动为不可压缩时，速度与横截面积成反比变化；当等截面管流中存在正激波时，激波前后流速与密度成反比。
在变截面管流中，密度、流速和横截面积这三个参数都是在变化的。因为是三个参数的关系，理解起来比两个参数要困难一些。由于横截面积并不是气体的流动参数，而是一种边界条件，实际上需要理解的是在变截面的边界条件下密度与流速的关系。接下来我们先从基本的力学分析入手，尝试理解密度随流速变化的机理，之后再加入横截面积的变化。
再次把式（4）抄写如下
从这个式子可以看到，不管是亚声速还是超声速，密度与速度都是反向变化的关系，加速时密度减小，减速时密度增大。
注意到这个关系式是用动量方程（2）加上等熵关系式推导得到的，而（2）的条件是定常和忽略黏性力。在这种条件下，流速变化只与压差力有关，气体从高压区流向低压区就加速，从低压区流向高压区就减速。也就是说，加速对应着压力降低，减速对应着压力增加。在绝热等熵流动中，压力的变化对应密度的同步变化（膨胀使压力降低，收缩使压力升高），这样就可以理解为什么密度与速度是反向变化的了。
当黏性力不可忽略，甚至比压差力的作用还要大时，上述结论就不成立了，比如图3所示的平板边界层流动，主流的压力恒定，气体从位置1到位置2的过程中不受压差力的作用，而是在壁面黏性力的作用下减速。由于黏性耗散作用，气体的温度升高，发生等压膨胀，密度减小。也就是说，从1到2的流动过程中，流速和密度都减小了。
回到本节的内容，不考虑非定常流动和黏性作用，前述分析可以定性地理解密度与速度反向变化，但还不能解释为什么马赫数越高密度变化程度越大。为了理解这个现象，需要明白的是马赫数代表的是流速与声速的比值，是一个无量纲数，并不对应流速的大小。在式（6.4）中，左侧的\({\text{d}\rho }/{\rho }\)是密度变化，右侧的\({\text{d}V }/{V}\)是速度变化，马赫数则是一种影响因素。如果认为马赫数的变化只受流速影响，则流速既是影响因素又是被影响因素，难免令人糊涂，实际上马赫数中的另一个变量——声速的作用才是关键。
根据声速定义\(c=\sqrt{{\text{d}p}/{\text{d}\rho }\;}\)可知，声速代表了气体微团的体积变化（\(\text{d}\rho \)）所产生的压差（\(\text{d}p\)），而压差又决定了流速的变化（\(\text{d}V\)）。显然，声速很小时，相当于流体很“软”，很大的体积变化才产生一点压力变化；而声速很大时，相当于流体很“硬”，一点体积变化就能产生很大的压力变化。
当马赫数较小时，声速相对于流速很大，这时流动中的加减速只需要轻微的膨胀和收缩所产生的压差即可完成；当马赫数较大时，声速相对于流速很小，这时流动中的加减速需要相当大的膨胀和收缩所产生的压差才能够完成。这就是随着马赫数的增大，相同的加减速对应的密度变化程度越来越大的原因，本质原因是马赫数越大流体就越“软”。
现在来看管道横截面积的影响。图4给出了三种减速压缩的准一维流动，其中，上面的图表示了等截面管道中存在定常正激波的情况，正激波前的气体速度大，正激波后的气体速度小，在经过正激波时，虚线所示的气柱必然会在流向缩短，从而体积减小，密度增大。
图4中间的图是超声速气流等熵地经过收缩管道的情况（这种情况不易实现，流场中通常会存在激波，不过道理是一样的），与等截面管道流动相同的是气体都发生了减速和体积减小，不同的是减速在收缩段发生时，气柱不但沿流向缩短了，横向也收缩了。
图4下面的图是亚声速气流等熵地经过扩张管道的情况，这时气体也发生了减速，因此体积必然是减小的，但由于通道是扩张的，气柱横向扩张，其流向需要缩短得更多来满足体积减小的条件。
可见，在加入了横截面积变化后，问题变得复杂了，这个问题是可压缩流动的核心内容，因为正是密度的变化使问题变得复杂的，理解这个问题是理解可压缩一维流动的关键。在前面的分析中已经知道了压力和温度与密度同步变化，而密度则与速度成反方向变化。现在只需要理解横截面积的改变对流速的影响，就可以全面地理解变截面管道中的流动参数变化。
用连续方程来理解流速随横截面积的变化是很直观的，根据连续方程
马赫数很低时，密度变化相对于速度变化可忽略，近似为不可压缩流动，速度与面积反向变化，收缩则加速，扩张则减速。当马赫数不是很低，但小于1时，密度的减小量小于速度的增加量，因此速度仍然与面积反向变化，不过这时同等程度收缩引起的加速程度要大一些，以补偿密度减小引起的流量减小。当马赫数大于1，即超声速时，随着速度增加，密度的减小量比速度的增加量还要大，因此面积也应该增加，才能保持流量不变。
从上面的论述中，可以得出的结论是亚声速时收缩引起加速，超声速时收缩引起减速。要注意的是这样的结论这是基于定常流动的，对于非定常流动则不成立。假设现在有一个收缩通道，某一时刻其出口的流速比进口的流速低，我们并不能就此判断这是超声速流动，因为它也可能是非定常的亚声速流动，如图5所示。定常流动是可以一直保持下去的流动，而非定常流动则可能保持不住，会随时间变化。
图5右图所示的流动会由于出口流量小，气体在管内堆积而发生变化，如果流动由进口流量决定，比如进口是一个固定流量的泵，出口通大气，则出口的流速会逐渐升高，最终超过进口，流量与进口匹配，如图6上面的图所示。如果流动由出口流量决定，比如进口是一个恒压罐，出口通大气，则出口的流速不变，这时进口的流速会逐渐降低，最终低于出口，流量与出口匹配，如图6下面的图所示。
可见，定常的流量连续是一个进出口匹配的结果，只要流量不相等就会不断地调整，直到各个横截面上的流量都相等，才会达到定常的流动状态。这个调整流量的过程是流体自动完成的，不需要外部调控，所遵循的是基本力学定律，也就是牛顿定律，加速是因为有正向压差（顺压梯度），减速是因为有逆向压差（逆压梯度）。
现在以图6中下面图这种流动为例，来研究亚声速流动中，收缩通道的内部压力是如何改变，最终形成沿流向降压加速的。由于曲线收缩的整个曲线段都是扰动源，比较复杂，为了简化问题，把通道改成线性收缩的形式，这样扰动源就只有两个折角处，图更清晰一些，原理上曲面收缩是一样的。假设初始状态是管内压力都等于大气压，进口速度大，出口速度小，不满足流量连续（图7的状态①）。整个变化过程受边界条件的控制，出口的静压一直为大气压，而进口的恒压罐提供的是总压恒定，静压随流速变化的条件。
从初始状态开始流动时，壁面向内的折角A处由于对来流形成阻碍，局部的压力增大，向外的折角B处则由于对气体的释放而形成低压区。在亚声速情况下，这种高压区和低压区以扰动为中心向外扩散（状态②）。图7中画出的是流速远小于声速的情况，这时扰动基本呈同心圆向外扩散。实际形成的压力变化是连续的，为了清晰，图中用几个不同压力的离散的同心圆来代替连续的压力变化。A处的高压会使其上游的流动减速，B处的低压会使其下游的流动加速，而A和B之间的压差使收缩段加速。
再经过一段时间，压力扰动开始影响到进出口（状态③）。亚声速气流的压力在出口处会与大气压适应，不会保持为低压。在进口处高压产生的逆向压差会使流速降低，流量减小。这时进口的流量仍然大于出口的流量，气流进一步在A处堆积，产生的局部压力增加使进口的速度进一步降低。最终，进口的流速降低到使进出口流量相等，收缩处的局部压力不再继续升高，达到稳定状态（状态④）。这种流动状态将不再随时间而改变，也就是达到定常状态。整体上进口的压力比初始状态提升了，流速比初始状态降低了，而出口的压力和流速与初始状态一样。从状态④的压力分布图还可以看出，在折角A和B的局部之外的流动基本上符合一维流动的特征，可见假设变截面管流为一维流动是有合理性的。
如果进一步简化，去掉壁面的外折角，其它条件不变，再来分析流动，则如图8所示。与图7不同的是这时流场中没有了低压扰动源，内折角产生的高压在进口使流动减速，在出口处会有一瞬间使流动加速，之后出口就会恢复到初始的速度，压力也会等于大气压。收缩的结果仍然是使整个上游的压力升高，流速降低。
需要注意的是，不管是亚声速流动还是超声速流动，收缩的壁面对气流只会产生阻碍作用，这是由壁面法线的方向所决定的，如图9所示。之所以亚声速流动中收缩反而引起气流加速，完全是因为气流自身的压差形成的，边界条件一定是管道进口的压力比出口的压力大，才会形成沿流向的加速流动。如果是进出口压力相同，甚至进口压力低于出口的情况，则收缩通道并不产生流动加速。图10给出了这两种情况，上面的图进出口压力相同，是不会形成流动的。下图中左侧的压力比右侧小，这时气体会在压差的作用下形成向左的流动，右侧成为进口，左侧是出口。这是一种亚声速扩张流动，出口的压力应该大于进口，但\({{p}_{1}}<{{p}_{0}}\)，这是怎么回事呢？实际上这时右侧会产生从大气向进口的汇聚流动，压力下降为𝒑2，最终的定常流动中，\({{p}_{1}}>{{p}_{2}}\)。
这种亚声速无黏流动的特点是最终状态与初始条件无关，只要边界条件相同，无论初始时有没有速度，速度朝那个方向，最终形成定常流动后都是一样的。图10下面的图中，即使一开始给一个向右的初速度，最终也会形成向左的流动，流动不再是收缩流动，而是扩张流动，只有这样才满足所给的边界条件。读者可以自己试着从牛顿定律的角度分析一下相应的变化过程，以加深理解。
亚声速扩张流动变化过程也可以使用类似于图7的方法进行分析，读者可以自己尝试，此处不再赘述。接下来分析超声速气流通过收缩和扩张通道的流动。超声速气流通过内折角和外折角的流动有差异，内折角会产生一道激波，流动过程不等熵，外折角则产生一束膨胀波，流动过程等熵。我们将使用如图11所示的流动模型来研究超声速在变截面通道内的流动。所研究的通道入口是高压气罐通过拉瓦尔喷管产生的超声速流，假设初始状态为等截面管道内的均匀流动，进出口马赫数均设为2.0，全流场压力与进口相同，而出口为大气压。
假设通道由等截面突然变为收缩或扩张，且流场参数在此瞬间还与初始值相同，此瞬间之后，在折角处产生的扰动将使流动发生变化，并最终形成定常流动。下面分收缩和扩张两种情况来讨论。
对于收缩通道，变化如图12所示，初始状态下进口的压力p1小于出口的大气压，在出口处有激波（状态①）。一开始内折角A处对气流的阻碍作用将使此处的压力升高，这种压力扰动以声速向外扩张，叠加流速后，将只能影响马赫线以后的流动（状态②）。扰动随时间扩大后开始影响出口，使出口的压力升高，流速降低（状态③）。由于折角不是无限小，所产生的扰动不是弱扰动，其与来流的分界线不再是马赫波，而是发展为激波，波角较马赫波要大。当最终稳定下来后，流动将形成以激波和反射激波为分界的区域，每个区域内压力和流速恒定，总体上形成从进口到出口的减速增压过程（状态④）。如果最终出口的压力大于外部的大气压，则会在出口外形成膨胀波。
图12这种流动的条件是收缩后出口的马赫数仍然是超声速的，如果出口的横截面积再小一些，使该处的流速达到了声速，或者比这个横截面积还小一些，则无法形成稳定的超声速流动，会在出口形成激波，这个激波会一直向上游移动，最终停在图11中拉瓦尔喷管的扩张段，激波后的流速都变成亚声速的，从而图12中的整个收缩段的流动都成为亚声速的。这是一种典型的双喉道超声速风洞的未起动现象，将在后面专门讨论。
对于扩张通道，流动的发展如图13所示，初始状态下进口的压力𝒑1大于出口的大气压，在出口处有膨胀波（状态①）。一开始外折角A处对气流的释放作用将使此处的压力降低，扰动以声速向外扩张，叠加流速后，只影响马赫线以后的流动（状态②）。扰动随时间扩大后开始影响出口，使出口的压力下降，流速升高（状态③）。当最终稳定下来后，形成以膨胀波的相交和反射为特征的流动（状态④）。由于折角不是无限小，产生的是一束膨胀波，为了清晰，图中用三条膨胀波代替无限多的膨胀波。可见对于扩张通道，超声速气流在总体上形成从进口到出口的加速降压过程。如果最终出口的压力小于外部的大气压，则会在出口外形成激波。
超声速流动的特点是下游压力无法影响上游流动，因此，上面的收缩和扩张流动中，出口的大气压对通道内的流动是没有影响的，只会影响通道出口的激波或膨胀波的形状。当然，如果不断增加出口的压力，最终肯定会影响上游通道内的流动，但这时流动就不再全是超声速的了，有关这个内容将在后面讲述拉瓦尔喷管时专门讨论。
从前面的分析可以看到，超声速流动与亚声速流动的不同主要是压力信息的传播方向造成的，亚声速的压力变化可以同时影响上下游，而超声速的压力变化只能影响下游。对于简单的收缩流动，对比图8和图12，高压都是在开始收缩的折角A处产生，但最终产生的结果却有很大不同。
对于亚声速流动，这个高压区同时向上下游扩散，在出口高压会迅速膨胀而消散掉，而在进口则和来流相互作用，使来流减速压力升高，这样最终就在进口形成了高压低速，而不影响出口的流动。因此，亚声速流动中，收缩通道产生沿流向的加速。对于超声速流动，这个高压区只能向下游扩散，使下游的压力增加，流速减小，而进口不受下游折角的影响，压力和流速都不变。因此，超声速流动中，收缩通道产生沿流向的减速。
实际上收缩通道对流动是阻碍作用，只会使流动减速，不同的是亚声速中使上游减速，超声速中使下游减速。图8的亚声速流动中，从状态①到状态④，出口的流速保持不变，进口的流速减小了；图12的超声速流动中，从状态①到状态④，进口的流速保持不变，出口的流速减小了。
从直觉上来看，收缩通道应该对气体有压缩作用，所以就应该使流动减速，从这个角度上来看，超声速流动更符合直觉。原因是一般人的直觉把每个气体微团的流动看成是独立的，其被壁面阻碍之后流向速度就会减慢。但流体是连续的，每个微团都不是独立的，在运动中都同时受其前后左右其它气体微团的推挤作用，即流体间的压差力作用，而不只是与壁面作用。
亚声速流动中，气体微团的加速主要靠的是沿流向的压差力作用，对应的压力分布体现出较强的一维性，即等压线基本垂直于流向，压差力沿流向，而压差力方向也就是流体的加速方向。超声速流动中，气体微团的加速则无法靠沿流向的压差力来实现，原因是压力信息不能沿流动反方向传播，也就无法在沿流向的两个微团之间建立起互相的压力作用。压力信息传播方向与流向的最大角度是马赫线方向，马赫线就是等压线，压差力方向垂直于马赫线，所以超声速流动的加速是沿着垂直于马赫线的方向。把图8和图13的状态④画在一起，形成图14，就可以清楚地看到超声速与亚声速的这种不同。既然超声速流动无法靠沿流向的压差力来加速，就必须依赖于面向下游的壁面来产生推动力加速，因此超声速流动中只有扩张通道才能使气体加速。
实际流动的边界条件千差万别，无法也没必要一一列举分析，这里只举出了几种典型的流动情况，其它情况读者可以自行分析。总之，现在我们得到了结论，收缩使亚声速气流加速，超声速气流减速；扩张使亚声速气流减速，超声速气流加速。接下来我们将对具体的变截面管流进行深入的分析，并涉及到一些工程应用。
亚声速气流经过收缩管道会加速，最简单且方便分析的流动模型是进口给定总压，通过调节出口的环境压力来改变管道内流动状态。图15给出了一种实现方法，进口为大气，出口为真空罐。整个收缩管道内气流的总压恒等于大气压，收缩管道出口处气流的静压与总压的比值决定了此处的流速。由等熵关系式可得静压与总压之比为
可得出口马赫数为
当出口达到声速时，称流动达到了临界状态，这时的压比称为临界压比，表达式为
当\(\gamma =1.4\)时，临界压比约为0.5283，即出口外部的环境压力（常简称为背压，用𝒑b表示）是来流总压的52.83%时，收缩管道出口是声速。如果继续降低背压呢？显然收缩管道是无法使亚声速气流加速为超声速的，所以出口将保持为声速状态，总压仍然等于大气压，静压则无法降低到与背压相同，而是比背压大一些，在出口外部会形成膨胀波来降压。
根据流动状态的不同，可以把收缩管道内的流动分为亚临界状态，临界状态和超临界状态三种，由背压与来流总压的关系决定。
图16给出了三种流动状态的压比和马赫数沿流向的变化示意图。亚临界状态就是全流场为亚声速的流动状态，这时背压大于临界压力，\({{p}_{\text{b}}}>{{p}_{\text{cr}}}\)，不足以使出口的流速达到声速。临界状态就是出口正好为声速的状态，这时背压等于临界压力，\({{p}_{\text{b}}}={{p}_{\text{cr}}}\)。超临界状态就是背压小于临界压力状态，\({{p}_{\text{b}}}<{{p}_{\text{cr}}}\)，这时喷管出口为声速，气流的静压不等于背压，而是等于临界压力。
从图16可以看到，从低速开始，流动处于亚临界状态，随着背压的降低，整个管道内的流动都发生压力下降，流速增加的变化，流量也随着背压的减小而增大。流量可以用公式计算，即
来流总温和总压不变的情况下，流量只与马赫数有关，亚声速时，流量函数\(q(Ma)\)随马赫数增加。当出口的马赫数增加到1时，流动达到临界状态，流量函数达到最大值，\(q(Ma)=1\)，所以流量也达到最大值。再继续降低背压，流动为超临界状态，管内各截面处的流动参数都不再发生变化，这种状态称为壅塞。背压虽然不影响管内流动，但对出口之外的流动还是有影响的，因为超临界状态下收缩管道出口处的静压不等于背压，因此会在出口外形成膨胀波，压力继续膨胀到与环境压力相同。
上面几段的分析都是基于一维流动理论的，即假设截面上的流动是均匀的，真实的流动具有一定的三维性，所以图16右侧这种基于一维关系式得出的曲线不完全准确。图17分别给出了收缩比相同的两种收缩管道在背压为来流总压0.45倍时的马赫数分布和声速截面。可以看出，出口截面上的流动并不均匀，声速截面也不是一个平面。尤其是当不是曲面收缩，而是锥面收缩时，由于在出口处壁面与轴线呈一定角度，三维性的影响更加强烈。
图18和图19分别给出了这两种收缩管道的数值模拟结果。这里所用到的锥形收缩模型的锥角为15°，两种管道的收缩段长度都与进口直径相等，面积收缩比均为4.566。
可以看到，当背压与来流总压的比值达到临界压比（\({{{p}_{\text{cr}}}}/{{{p}_{\text{t}}}}\;\approx 0.528\)）时，两种管道的流动均开始出现声速截面。但曲面收缩的声速截面一开始就与出口的壁面相交，而锥面收缩的声速截面则不在出口的位置，而是在下游某处，原因是对于锥面管道来说，气流真正的最小截面并不是在出口处，顺壁面的流动在惯性作用下在出口外仍然会有一段收缩流动。再继续降低背压，声速截面逐渐向上游移动，对于曲面收缩，当压比低于0.4时声速截面的位置和形状不再变化，也就意味着继续降低反压不再影响管道内的流动，这一点从图19右下角的曲线中也可以看出来。管内中心线上的马赫数一开始随背压的降低而增加，在压比低于0.4之后，背压只影响出口之外的马赫数，不再影响管内的流动。可见，考虑三维性的影响后，壅塞压比并不等于临界压比，对图19中的管道来说，临界压比仍然为0.528，而壅塞压比则为0.4左右。为什么管道出口已经出现了声速截面，但继续降低背压还是会影响管内流动呢？这时因为声速截面的改变也就相当于该变了实际气流喉道的面积，使流量发生变化，从而影响收缩通道内的流动。
对比之前的分析，图16中画出的马赫数沿流向的变化是完全基于一维关系式的，而图19给出的是设计得几乎完美的收缩管道的实际情况。可见工程实际中不能认为临界压比之后管内的流动就不受影响了，实际的壅塞压比总是更低一些，对应着降低背压时出口处的声速截面不再变化时的压比。
锥面收缩的三维效应更加强烈一些，从图18可以看到，直到压比低于0.25，声速截面才不再发生变化，因此这种收缩管道的壅塞压比是0.25，这一点从右下角的中心线上的马赫数随压比的变化也可以看出来。的如果收缩的角度更大一些，则壅塞压比还要更低。
在上面的分析中，进口总压为大气压，通过出口背压来改变收缩通道内的流速，这种情况来流条件不变，是最简单的情况，现在将其称为实例1。实际流动中未必是这样的条件，我们再来举两种情况，分析收缩通道流动的特点。
实例2和实例1的不同在于，现在出口的背压不变，通过改变进口的总压来调节收缩通道内的流速，如图20所示。在等熵流动中马赫数只取决于总静压比，因此实例2的马赫数分布、出口的声速截面、以及出口外的膨胀波和激波等形式与实例1并无差别。主要的不同要看流量计算公式，即
实例1中，改变出口背压只改变上式中的马赫数，当流动达到壅塞状态后，背压对流量不再有影响。在实例2中，改变的则是进口条件，可以看到流量随进口总压的增加而增加，随总温的增加而减小。
先考虑总温不变的情况，让恒压罐内的压力从大气压开始逐渐增大，一开始流量随压力快速增加，当达到壅塞状态后，流量随总压线性增加。保持总温不变的条件下，壅塞后各截面的马赫数不变则静温也不变，对应的声速不变，从而可知速度不变。因此，壅塞前流量的增加是由速度和密度的共同增加产生的，壅塞后的流量增加则完全由密度的增加产生。如果保持总压不变，则无论是否壅塞，各截面处的马赫数都保持不变，由流量公式可知流量随总温的增加而减小。
有些工程实际中，进口不是高压空气罐，而是一个风机或压缩机，这时情况就要复杂一些。风机和压缩机有自己特定的工作曲线，即压升与流量的关系，和收缩通道连接后，一方面通道的流量应该与风机的流量相等，另一方面通道的流量又取决于风机所能提供的总温和总压。当最终形成定常流动时，这两个条件必须同时满足，设计得好的话，风机会工作在额定工作点附近，设计得不好的话，通道可能会发生壅塞，或者风机可能会发生失速。实际工作中遇到这种情况的时候，通常在设计时需要进行迭代计算，根据需要进行风机选型和通道尺寸设计。
现在来看实例3，如图21所示，收缩管道以亚声速在在静止的空气中亚声速运动，为了避免局部的流动分离，把管壁的前部修圆，后部修尖，做成流线形。现在如果以管道为参照系，气流会在收缩管道内加速吗？有可能会在出口达到声速吗？
首先需要明确的是，亚声速气流经过收缩管道的定常流动一定是加速的，因此收缩管道出口的流速必然大于进口的流速。如果简单地认为管道进口的流速就等于管道相对地面的运动速度，则经过收缩管道加速后，出口当然是有可能达到声速的，但这却不符合实际情况。
假设管道内的流动满足一维等熵的亚声速流动，则出口的静压等于大气压，而出口的总压等于进口总压，由下式计算
这里的马赫数\(M{a}_{\text{p}}\)是管道相对于地面的马赫数，总压则是以管道为参照系后整个流场内的总压。在进口的远前方，空气相对管道的马赫数为\(M{a}_{\text{p}}\)，而静压为𝒑0，故总压可由上式计算。当气流接近管道时，受管道的阻碍，速度会减慢，静压上升，马赫数下降，气流实际进入管道的马赫数是低于\(M{a}_{\text{p}}\)的。反而在出口处，可以由上式看出，马赫数等于\(M{a}_{\text{p}}\)。也就是说，收缩管道出口的流速等于管道运动速度，而进口的流速小于管道的运动速度。图22给出了实际的三维流动图画，可以看到，气流在接近管道进口时减速且向四周扩散， 在管道内加速，在出口再次到自由流的速度，符合上述基于一维流动的分析。
如果加大管道运动的马赫数，接近声速时，流动就变成跨声速的了，首先出现声速的地方会是进口的外侧，即图22中红色的区域，出现膨胀波和激波，不能用简单的一维关系来计算了。
总结一下，亚声速收缩管流有如下几个特点：
超声速气流经过收缩管道会减速增压。由于超声速流动的特点是下游压力无法影响上游，因此管道内的流动完全由进口条件决定，也就是来流的总压、总温和马赫数决定了全流场的流动参数。根据流量关系式
可知，由于总压和总温沿管道保持不变，出口马赫数可以表示为
也就是说，出口的马赫数只由进口的马赫数和面积比决定。当出口减速到声速时，流量系数等于1，对应的进口马赫数为
这个面积比称为临界面积比，即出口达到声速时的面积比，这个面积比由进口马赫数决定。或者也可以反过来说，对于某收缩比一定的管道来说，进口的超声速流动马赫数存在一个最小值，称为临界马赫数，比这还小的马赫数是无法在管道内保持为超声速流动的。
现在结合图23来分析超声速收缩管流随进口马赫数的变化。一开始进口马赫数足够高，出口的流动也是超声速的，并在出口之外形成激波和膨胀波，如图23左图所示。随着进口马赫数慢慢降低，当接近临界马赫数时，出口的流速接近声速，外部的激波大概形成一道正激波，几乎挨着出口，如图23中间图所示。当继续降低进口马赫数时，这道正激波会进入管道中，一旦激波进入了收缩管道，由于正激波不能稳定地存在于收缩通道中，它就会迅速逆流向上游移动，最终移到进口上游去，使收缩管道内的流动都变成亚声速的，如图23右图所示。
如果一个定常的收缩管道流动进口是超声速的，那么有两种常见的形式，一种形式是这个管道在做超声速运动，比如装在飞机上超声速飞行；另一种形式是这个管道前面有一个拉瓦尔喷管将亚声速的气流加速到了超声速。如果喷管是超声速运动的，则存在进口，向前推进的正激波会被推出进口前部形成脱体激波，使喷管内全部变成亚声速流动，如图24左图所示。如果喷管前面存在一个拉瓦尔喷管，则正激波会被推进到拉瓦尔喷管的扩张段，如图24右图所示。
现在我们来讨论一下正激波为什么不能稳定地存在于收缩喷管的问题。激波的强度是由其前后的压差决定的，压差大则激波强，压差小则激波弱，而激波的强弱又直接与其相对来流的传播速度相关，我们就根据激波的这种特性来分析一下激波的稳定性问题。
如果在收缩喷管内存在一道正激波，则激波前是超声速的减速流动，激波后是亚声速的加速流动，如图25（a）所示。当出口的压力稍有降低时，激波后面的压力都会相应地降低，激波会变弱。变弱的激波相对来流的传播速度有所减小，于是激波会后移。后移到面积更小位置的激波前部的马赫数更低，压力更低，于是激波变得更弱，进一步移向下游。这样，当出口压力稍有降低时，激波将被推出出口之外；当出口的压力稍有升高时，激波后面的压力都会相应地升高，激波会变强。变强的激波相对来流的传播速度有所增大，于是激波会前移。前移到面积更大位置的激波前部的马赫数更高，压力更低，于是激波变得更强，进一步移向上游。这样，当出口压力稍有升高时，激波将被推出进口之外。也就是说，收缩通道内的正激波时不稳定的，稍有扰动，或者就被推到进口上游，或者就被推导出口下游。
如果是图25（b）所示的扩张喷管情况就不同了，当出口的压力稍有降低时，激波后的压力降低，激波后移。后移到面积更大位置的激波前部的马赫数更高，引起的压升更大，与其后的静压匹配，于是激波会在原来下游一点的位置重新稳定下来。当出口的压力稍有升高时，激波则会在上游一点的位置重新稳定下来。
前面的分析都是基等熵流动的，实际上想要让超声速气流在收缩管道内等熵地减速几乎是不可能的事，因为这需要由无穷多的弱压缩波来完成。在流场中产生无穷多的膨胀波来加速是可行的，但想要产生无穷多的压缩波来减速则很难。原因是压缩波总是倾向于汇聚成激波，一旦变成激波，流动就不是等熵的了。因此，超声速气流在收缩通道内的减速是一个值得研究的问题，这方面比较典型的应用就是超声速飞机的进气道，图26给出了两种内压式超声速进气道的形式，理想的方法是用一系列弱压缩波来减速，如左图所示，不过由于黏性作用的影响这种设计很难实现，即使实现了，也只能工作在单一的设计工况，工况稍有不同（比如飞行速度的变化或者攻角的变化），就会产生激波。所以一般的思想是用几道斜激波来减速，实际上用几道斜激波来减速的效果足够好，产生的损失不大，但对来流的减速程度可以很大。
总结一下，超声速收缩管流有如下几个特点：
亚声速气流经过扩张管道会减速，由于进口是横截面积最小的地方，所以随着背压的降低，这里最先达到声速。要让进口的横截面积最小，进口的上游可以有几种形式，可以是从大气进气，或者从恒压罐进气，或者是整个管道在静止空气中以亚声速飞行，如图27所示。从图中可以看到，无论是哪一种形式，不管进口前面有没有管道形成的收缩段，上游流线必然是向进口汇聚而形成收缩流动的，因此实际的扩张管流前面必然接着一个收缩流动，于是整个流动变成收—扩管道形式，有关收—扩管道的流动的具体分析将在第5节详细介绍。
单纯对于亚声速扩张管流来说，气流是减速增压的，所以这种通道也称为扩压器。实际的气流受黏性作用，人们最关心的扩压器流动问题是边界层分离。在各种各样的亚声速扩压通道中，设计的焦点主要集中在如何避免分离。如果不考虑黏性，亚声速扩张管流与收缩管流的变化趋势相反，不需要特别的分析。
当扩张管道的进口是超声速时，气流将在扩张通道内加速。通道内的流动有两种可能，一种是全部为超声速，在出口外部产生膨胀波和激波；另一种存在一道正激波，正激波前是加速的超声速流动，正激波后是减速的亚声速流动，如图28所示。
由于从进口开始的流动是超声速，并且壁面是扩张的，在扩张的外折壁面处必然会产生膨胀波。所以，超声速气流的加速是不均匀的，气流在受膨胀波影响的区域内会加速并转弯，在其它地方则匀速流动，图29显示了一种较为理想的膨胀波形式。
类似于前面分析过的收缩管流，扩张管流进口的超声速流动也有两种常见的形成方式，如图30所示。一种是面有一个拉瓦尔喷管，另一种是管道在气体中超声速运动。对于前面有拉瓦尔喷管的情况，扩张通道前面接的是拉瓦尔喷管的扩张部分，因此整个流动变成收-扩管道流动，将在接下来的第5节详细介绍。对于超声速运动的情况，这类似于一种简单的超声速进气道，气流以超声速从进口进入，在扩张段某个位置产生一道激波，下游的流动都是亚声速的，于是实现了对超声速气流的减速，只不过这种减速方式的损失较大，现代的超声速飞机不再采用。
现在来研究收缩—扩张管道流动，简称收—扩管流。由于瑞典工程师拉瓦尔在研制汽轮机时率先使用了一种收—扩管道来实现把气体从亚声速加速到超声速，因此这种管道经常被称为拉瓦尔喷管。需要注意的是，只有把气流从亚声速加速到超声速的收—扩管道才应该叫拉瓦尔喷管，而另外三种情况：全场亚声速，全场超声速和超声速减速到亚声速的收—扩管道都不能叫做拉瓦尔喷管，因此本书使用收—扩管流来称呼。
收—扩管道的中间的横截面积最小，称为喉部，根据流量方程可知，整个管道中喉部的流量函数应该达到最大值。假设现在有一个如图31所示的收—扩管道，进口面积是喉部的4倍，出口面积是喉部的2倍。若已知喉部的流量函数，则进口的流量函数，出口流量的函数。每一种流量函数值都对应亚声速和超声速两种情况，可以分别计算出马赫数，如表1上半部分所示。
| 位置 | 当地面积/ 喉部面积 | \(q(Ma)\) | \(Ma\)（亚声速） | \(Ma\)（超声速） |
| 进口 | 4 | 0.125 | 0.073 | 3.677 |
| 喉部 | 1 | 0.500 | 0.306 | 2.197 |
| 出口 | 2 | 0.250 | 0.147 | 2.940 |
| 进口 | 4 | 0.250 | 0.147 | 2.940 |
| 喉部 | 1 | 0.100 | 1.000 | 1.000 |
| 出口 | 2 | 0.500 | 0.306 | 2.197 |
这样在数学上一共有8中可能的组合，实际上只有2种是符合等熵流动的，即全场超声速或全场亚声速，如图32所示。当进口为超声速时，收缩段可能会有斜激波，扩张段可能会有正激波，如图33所示。这些不等熵流动的总压不恒定，不能简单地用流量函数分析。
如果喉部是声速，即，则计算结果如表1下半部分所示，这时流动有4种可能性，如图34所示。不过，其中的“亚声速→亚声速”和“超声速→超声速”都不稳定，只在理论上存在，而“超声速→亚声速”则很难保证不产生激波，只有“亚声速→超声速”是最稳定且易于实现的，这时的管道称为拉瓦尔喷管。
综上分析，可以给出这样的结论：对于收—扩管流，在等熵流动无激波的条件下，当喉部为亚声速时，全场都是亚声速；当喉部为超声速时，全场都是超声速；当喉部是声速时，进出口可以分别为亚声速和超声速。
上面都是基于流量连续进行的分析，并未考虑力的作用，接下来通过分析进出口的压力条件来分析各种流动的成因。
按照如图35所示的模型来分析亚声速入口的收—扩管流问题。管道的进口为大气，出口为真空罐。整个收—扩管道内气流的总压恒等于大气压，通过调节真空罐内的压力来改变收—扩管道的背压。
一开始让恒压罐内的压力等于大气压，收—扩管道内部的气体处于静止状态，打开真空泵，真空罐内的压力缓慢地降低（缓慢的意义是让流动可以看作定常的），管道内气流开始流动。这时整个管道内的气流都是亚声速的，喉部的气流速度最大，气流的静压和马赫数如图36中的状态a和a'所示。
继续降低背压，到某一背压值时，喉部的气流速度达到声速，如状态b所示，气流经过喉部后，在扩张段又减速为亚声速。现在继续降低背压，喉部之后的气体将沿扩张管道加速为超声速流动。加速过程中压力下降，但出口的背压并没有低到让整个扩张通道都达到超声速，实际区做这个实验时，当喉部已经达到声速，在继续降低背压时，会在喉道后一点的地方产生一道正激波，正激波之后的气体降为亚声速，并沿扩张通道继续减速增压，到出口时气流静压与背压匹配，如状态c所示。再继续减小背压，正激波会不断地后移，形成状态c'。
当背压减小到某一值时，整个扩张通道内都达到了超声速，正激波移到了出口的位置。激波后的气流静压等于背压，而激波前的气流静压小于背压，如状态d所示。再继续减小背压，激波将离开出口向下游移动，同时从出口的壁面发出斜激波，斜激波相交后在射流核心区产生马赫反射，对应正激波。出口处的激波在下游的自由边界上交替地反射为膨胀波和压缩波，形成周期性结构，沿流向的静压如曲线e所示，气流在出口处的静压仍然小于背压。再继续减小背压，当背压与出口处超声速气流的静压正好相等时，出口外将没有压力波，形成等熵的射流，如状态f所示，如果再继续减小背压，其将小于出口处气流的静压，这并不会对管内流动造成任何影响，但气流在出口外将需要继续膨胀以适应背压，于是在出口的壁面处产生膨胀波，这些膨胀波在下游的自由边界上交替地反射为压缩波和膨胀波，再次形成周期性结构，如状态g所示。
对于状态e的情况，因为出口处气流的压力已经降到比背压低了，需要在出口外被压缩，说明膨胀过头了，因此称为过膨胀状态。而状态g的情况，因为出口处气流的压力仍然比背压高，需要在出口外继续膨胀，说明膨胀的还不够，因此称为欠膨胀状态。
现在来看看如何定量地计算收—扩管道的流动。这类问题的已知条件通常是管道的几何形状、来流的总压和出口外的背压，约定用下标b表示真空罐内的参数，下标e表示管道出口的参数，下标th表示喉部的参数，下标0表示进口外的大气参数，也就是总参数。
1. 全场为亚声速流动的计算对于全流场没有超声速的情况（状态a和b），马赫数𝑴𝒂与流量函数\(q(Ma)\)是单值关系，且出口处气流的静压等于背压，\({{p}_{\text{e}}}={{p}_{\text{b}}}\)。可以按下面的顺序计算各截面的参数
(1). 用总静压关系计算出口的马赫数
(2). 用流量关系式计算任意截面处的流量函数，从而得到当地马赫数（亚声速值）
(3). 用总静压关系计算任意截面处的静压
这样就可以计算出了马赫数和静压沿流向的变化曲线，即图36中的曲线a和b。
2. 扩张段全部为超声速流动的计算当扩张段全部为超声速时，背压对管内流动无影响，已知条件中少了一个背压，但多了一个喉部为声速的条件。可以按下面的顺序计算各截面的参数
(1). 用流量关系计算任意截面的马赫数
当使用流量函数\(q(Ma)\)计算马赫数时，在收缩段取亚声速值，在扩张段取超声速值。
(2). 用总静压关系计算任意截面处的静压
计算出的管内马赫数和静压沿流向的变化曲线如图36中的曲线d-g所示。
3. 扩张段包含正激波的计算当扩张段中包含正激波时，计算要相对复杂一些，主要原因是有激波的流动不再是等熵流动，失去了总压不变这一方便的条件。实际的流动中，激波会自动调整位置使管道出口处的气流静压与背压匹配，当激波偏前时，出口的静压过高，激波后的气流会加速降压，使激波后移；当激波偏后时，出口的静压过低，激波后的气流会减速增压，使激波前移，这在图25中曾经分析过。我们就可以利用这个特点，使用二分法来找出激波的位置，然后就可以计算马赫数和静压了。具体算法如下
(1). 如图37所示，先假设激波处于截面 𝒊 处，激波前的参数用下标1表示，激波后的参数用下标2表示，由于激波厚度可忽略，因此截面2与截面1的面积相同，使用的是二分法，所以第一次猜测的面积设定为喉部面积与出口面积的平均
(2). 使用流量关系式计算波前马赫数（取超声速值），使用正激波关系式计算波后马赫数和波后总压
(3). 使用流量关系式计算出口马赫数（取亚声速值），使用总静压关系式出口静压
(4). 若\({{p}_{\text{e}}}>{{p}_{\text{b}}}\)，则令\({{A}_{\text{i+1}}}={\left( {{A}_{\text{i}}}+{{A}_{\text{e}}} \right)}/{2}\;\)，重复上面的第(2)和(3)步；若\({{p}_{\text{e}}}<{{p}_{\text{b}}}\)，则令\({{A}_{\text{i+1}}}={\left( {{A}_{\text{th}}}+{{A}_{\text{i}}} \right)}/{2}\;\)，重复上面的(2)和(3)；若\(\left| {{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{b}}} \right|<\varepsilon \)（𝜺为设定的残差），则激波位置已与背压匹配，进行第(5)步。（这里的下标 𝐢 表示迭代次数。）
(5). 计算整个管道内的马赫数和静压
激波前（喉部前的马赫数取亚声速值，喉部后的马赫数取超声速值）：
激波后（马赫数取亚声速值）：
【例1】 如图38所示，已知一个二维收—扩管道的下壁面为直线，上壁面的曲线形状符合下列关系式
已知进口为大气环境，忽略黏性，不考虑扩张段内可能存在的膨胀波，分别在如下的背压条件下用一维关系式计算管内压力和马赫数沿流向分布。
1).\({p_\text{b}}=0.95{p_0}\)；2).\({p_\text{b}}=0.80{p_0}\)；3).\({p_\text{b}}=0.60{p_0}\)；4).\({p_\text{b}}=0.20{p_0}\)；5).\({p_\text{b}}=0.05{p_0}\)。
由二维壁面形状关系式可知，喉部和出口面积分别为0.6和1.0。随着背压的降低，喉部刚达到声速时，出口处的流量函数为
从而得到出口处亚声速和超声速的马赫数分别为
对应的静压分别为
当\(0.1308{<{{p}_{\text{b}}}}/{{{p}_{0}}}\;<0.9062\)时，有两种可能，一种是扩张段存在激波，另一种是扩张段全超声速，在出口外存在激波（对应着过膨胀状态）。现在先来计算激波位于出口时的背压，前面已经计算出了波前马赫数和静压，由激波关系式可得
现在我们可以做出判断，当\({{{p}_{\text{b}}}}/{{{p}_{0}}}\;\ge 0.9062\)时，全管道可以按亚声速计算；当\({{{p}_{\text{b}}}}/{{{p}_{0}}}\;\le 0.5796\)时，扩张段按超声速计算；当\(0.5796<{{{p}_{\text{b}}}}/{{{p}_{0}}}\;<0.9062\)时，按扩张段中存在激波计算。
下面计算题干中5种背压下的流场：
1). 此时全管道为亚声速，按（11）~（13）计算。
2). 此时扩张段有激波，按（16）~（23），用电脑程序进行计算。
3). 同2)。
4). 此时扩张段全部为超声速，按（14）~（15）计算。
5). 同4)。
上述计算得到的曲线如图39所示。
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在前面的分析中我们发现，当喉部达到声速且全场其他地方都是亚声速时，背压只与出口与喉部的面积比有关
以出口面积与喉部面积之比为横坐标，背压与来流总压之比为纵坐标画出曲线，如图40所示。可见，随着面积比的增加，对应的背压迅速趋向于1。也就是说，当面积比足够大时，出口的静压只需要比总压稍微小一点，就可以在管道的喉部达到声速。因此，理论上我们可以设计一个简易的风洞，通过在进口或者出口加一个小风扇，就可以在喉部达到声速，如图41所示。这在理论上是没有问题的，即使算上壁面黏性摩擦产生的压力损失也不是障碍。这个设计的关键是扩张段不能发生流动分离，一旦发生分离，则压力损失成倍地增加，所需的背压就要很低才行了。问题是，当面积扩张比很大时，想要控制分离是较为困难的。
当收—扩管道的进口是超声速流动时，根据一维等熵流动理论可知，喉部不可能是亚声速的，只能是超声速或者声速。最稳定的情况是喉部超声速，这时根据背压的不同，在扩张段可能出现全部超声速或超声速→激波→亚声速两种情况。如果喉部正好是声速，则据背压的不同，扩张段可能有全亚声速，超声速→激波→亚声速，以及全超声速三种情况。
喉部的马赫数由进口的马赫数和喉部与进口的面积比决定，即
如果根据已知条件用上式计算出的\(q\left( M{{a}_{\text{th}}} \right)\)大于1，就表明这样的流动不存在，原因是喉部无法通过进口的流量。结果就会在收缩段产生激波并前移，改变进口的马赫数，使整个收缩段都变成亚声速的。因此，对于任何一个收缩比\({{{A}_{\text{in}}}}/{{{A}_{\text{th}}}}\)已知的管道，进口马赫数都存在一个下限\(Ma_\text{min}\)，对应着喉部为声速的状态，即
当进口马赫数正好等于\(Ma_\text{min}\)时，喉部为声速。实际流动中几乎不可能让进口马赫数正好为\(Ma_\text{min}\)，而总是比它大的。所以，超声速进口的收—扩管道实际上只存在喉部为超声速的情况，不存在喉部正好为声速的情况，这一点和亚声速进口是不同的。
对于收—扩管道，计算超声速进口的等熵流动的方法与计算喉部达到声速后的亚声速进口类似，唯一区别是这时的喉部不是声速，马赫数是一个确定的超声速值。具体算法不再赘述，读者如有计算需要可参考前面的算法。
要让收—扩管流的进口是超声速流动，一种典型的实现方法是前面加一个拉瓦尔喷管，这样就出现了多于一个喉部的情况。实际上这种结构多见于超声速风洞中，用拉瓦尔喷管在试验段实现超声速流动后，一般还需要让气流再减速增压后排入大气，这么做的一个重要原因是超声速气流的压力较低，不增压无法排入大气，另一个重要原因是超声速气流排入大气产生的噪音巨大，总之，在超声速试验段后面还需要加一个收—扩管道用于减速，如图42所示。第一个收—扩管道用于把亚声速气流加速成超声速，称为拉瓦尔喷管，第二个收—扩管道用于超声速气流的减速增压，可以称为扩压器管道。
如果整个管道内的流动是等熵的，两个喉部面积可以设成一样，这样两处会同时达到声速，气流在第一个收缩段从亚声速加速到声速，在第二个收缩段中从超声速减速到声速，马赫数分布如图42所示。实际上这种设计是行不通的，因为气流不可能是等熵流动，一方面黏性会产生损失，另一方面第二个收缩段内也很难实现超声速气流的等熵减速。另外，还有一个重要原因是气流在刚开始从静止加速时，前面的拉瓦尔喷管中总是会经历图36所示的状态a到状态f的变化过程，过程中一定会伴随着激波，使流动不等熵。
当流动不等熵时，总压会降低，从流量关系式可知，下游的声速截面必须要大一些才行，增大多少完全取决于总压损失。用下标N（Nozzle，喷管）代表第一喉部，下标D（Diffuser，扩压器）代表第二喉部，由流量公式可以推导如下
式中的\(\sigma \left( Ma \right)\)为马赫数为𝑴𝒂的超声速气流经过正激波产生的总压损失，这里忽略了黏性损失。那么这个马赫数该取多大呢？显然应该取起动过程中最大可能的波前马赫数，也就是会让总压恢复系数最小的那个，这需要先理解这种双喉道风洞是如何起动的。
对于固定几何且无放气的双喉道风洞，看可以通过增大进口总压的方法起动。现在来看一个试验段马赫数为2.0的风洞的起动过程，一开始，整个风洞中的气流是静止的，增加进口总压，一开始会形成亚声速流动，沿流向的压力分布如图43中的曲线a所示。继续增加进口压力，拉瓦尔喷管的喉部达到声速，扩压器的喉部还是亚声速的，压力分布如曲线b所示。接下来，拉瓦尔喷管的喉部后方开始生成激波并后移，压力分布如曲线c和d所示。再继续增加压力，激波到达拉瓦尔喷管出口，这时扩压器的喉部应该接近于声速，压力分布如曲线e所示，进口总压再增加一点，激波就会迅速通过平直的试验段和扩压器的收缩段，并停留在扩压器喉部之后，压力分布如曲线f所示（理论上状态f和e的进口总压可以相同，图中为了清晰把f的总压画得高了一点，这是符合实际试验情况的，因为实际操作中让f的总压高一些有助于起动）。由于这时扩压器喉部之前不再有激波产生的总压损失，来流的总压大幅增加，使扩压器喉部的马赫数突然增加到超声速，激波则会停留在扩压器喉部后方较远的位置上，试验段建立起了稳定的超声速流动，风洞起动成功。
起动后，再慢慢减小进口总压，让扩压器喉部后面的激波位置前移到距喉部不远处，目的是减弱激波强度以降低激波损失，形成状态g，这就是风洞的工作状态。但这个调节过程要小心进行，因为一旦进口总压减小过多，激波被推到了扩压器喉部前方，就将迅速跑到拉瓦尔喷管扩张段，使试验段变成亚声速流动，风洞变成未起动状态，需要再来一次起动过程。
从上述起动过程的描述可知，最小的总压恢复系数对应着激波位于拉瓦尔喷管出口的情况。另外，扩压器喉部设计成声速的流动并不稳定，需要设计成超声速的，比如扩压器喉部马赫数设计成1.1，并在喉部下游不远处（比如在\(Ma=1.2\)处）产生一道激波，把气流降为亚声速，这样才能保证试验段超声速流动的稳定性。
激波产生损失，黏性也产生损失，扩压器部还需要设计成超声速，这三种因素都需要把扩压器的喉部面积设计得比理论值大一些。这其中黏性损失的影响无法用简单的一维关系式计算，需要使用实验或者数值模拟来评估，另外两个因素则可以简单地计算得到，下面通过一个简单的例子看一下计算过程。
【例2】 要设计一个试验段马赫数为3.0，宽高各为0.5m的风洞，不考虑黏性损失，求试验段前面的拉瓦尔喷管喉部面积和试验段后面的扩压器喉部面积。
解：用流量关系式计算拉瓦尔喷管的喉部面积（下标T表示试验段，也就是拉瓦尔喷管出口）两个喉道的关系也可以用流量关系计算
总压比用位于拉瓦尔喷管出口的激波计算，其来流马赫数也就是试验段的设计马赫数，从而有
扩压器喉部马赫数取1.1，则有
把上面两个结果带入到式（25）中，得
可见，考虑起动情况，扩压器喉部面积需要比拉瓦尔喷管喉部面积大得多才行（本例中要3倍以上）。
当风洞起动之后，拉瓦尔喷管内部不再有激波，扩压器喉部之前的流动都变成等熵的了，这时扩压器的喉部面积就显得太大了，在喉部后的激波强度很大，损失也很大。以例6.2为例，按照等熵计算，扩压器喉部的流量函数为
对应的马赫数为2.662，假设激波位于喉道后方马赫数为2.7处，则总压恢复系数为
可见一半以上的总压都损失掉了，或者说做试验所需的来流总压要额外提高一倍以上。因为起动只是短暂的时间，而稳定实验则会持续很长的时间，显然完全按照起动工况来设置扩压器的喉部会造成巨大的能源浪费。有一种解决办法是扩压器采用可变面积的喉部，起动时使用较大的面积，之后再逐渐减小，最终把扩压器的喉部马赫数控制为刚刚超过声速。还有一种方法是在起动时在扩压器的收缩段放气，起动起来之后再慢慢关闭放气。本质上来说放气相当于增加了一个旁路，也是变相地增大了扩压器喉部面积。
图44给出了一种二维的双喉道风洞在试验状态时的波系和中心线上的马赫数和压力分布，这是用数值模拟方法计算得到的，计算过程中采用了放气的方法来起动，所以扩压器的喉部不用设计得很大，图上也标出了起动放气的位置。
从图44可以看到，在扩压器的收缩段没有采用曲线收缩，而是用了简单的直线收缩。这是因为超声速气流的减速很难做成等熵的形式，一般采用斜激波来减速，设计得好的话，气流经过几道斜激波来减速所产生的损失并不大，是可以接受的。
飞机发动机的进口来流条件不能是超声速的，因此超声速飞机进气道的作用是让气流高效地减速到亚声速。一种简单的超声速进气道是在进气道入口处产生一道正激波，之后的进气道都是扩张式的，这种进气道称为皮托式进气道，如图6-45所示。
来流马赫数为1.5的正激波产生的总压损失为
一般认为这是可以接受的损失上限，所以皮托式进气道可用于马赫数低于1.5的飞机。
对于更高飞行速度的飞机，可以使用收—扩管道来进行减速，不在进口外产生激波，让气流毫不减速地冲入进气道，并在内部减速增压，因此这种进气道称为内压式进气道。超声速气流在收—扩管道内等熵减速为亚声速只在理论上存在，实际上都是采用斜激波+正激波的形式减速的，这种减速方式的损失比起一道正激波来说要小得多，因此是可以接受的。
前面讲的超声速风洞的扩压器也是一个用于减速增压的超声速进口收—扩管道，我们已经看到这种流动存在着起动问题，同样来流总压情况下，对应未起动和起动两个状态，即图43中的e和f。同理，内压式进气道也存在着起动问题，图46给出了相同飞行马赫数时，内压式进气道可能存在的两种工作状态，左侧的是未起动状态，右侧的是正常状态。未起动状态下提供给发动机的空气流量小，总压损失高，应该避免出现。
我们用理想的内压式进气道来分析其起动问题，实际的进气道原理是相同的只是需要考虑斜激波的损失，计算过程稍微复杂一些。理想的内压式是等熵减速的，设计状态喉部为声速，如果进气道的几何式不可变的，且在喉部前没有放气，则飞机从低速开始加速到达设计的超声速状态时，进气道必然会处于未起动的状态，分析如下。如图47所示，用下标1表示进气道进口横截面积，0表示流入进气道的气流在远前方时的横截面积，在设计状态时，\(A_0=A_1\)，根据连续方程，有
也就是说，特定几何形状的内压式进气道只适合唯一的飞行马赫数。
当飞行速度高于设计速度时，喉部会超过声速，有关系式
\(Ma_\text{th}\)随\(Ma_0\)同步增大，使\(q(Ma_\text{th})\)随\(q(Ma_0)\)同步减小，不过实际通过进气道的流量并不会减小，原因是飞行速度越高，进入进气道的气流总压也越大。用下标a表示实际飞行状态，下标d表示设计状态，则实际通过的流量与设计值之比可以在喉部进行计算
其中的\(Ma_\text{a}\)指的是实际喉部的马赫数。
飞机以不同的速度在同样的大气中飞行，进入进气道的气流静压和静温是不变的，利用这个可以对上式进一步推导如下
从而有
从而有
可见流量比就等于喉部的马赫数。这个结论不但适用于超声速飞行，也适用于亚声速飞行情况，只要喉部之前没有激波，保持气流等熵流动就可以。
所以，飞机以超过设计速度飞行时，只要进气道后面的发动机不对流动产生阻碍，进气道就可以正常工作。气流以超声速经过喉部，在后面扩张段某处形成一道正激波使气流减速为亚声速，如图48所示。这种情况的主要缺点也就是进气道的损失较大，并不构成太大的问题。
当飞机以超声速但小于设计速度飞行时，0截面处的流量函数\(q(Ma_0)\)会比设计情况大，而喉部的流量函数最大就是设计状态（\(q(1)=1.0\)），下面这个关系式将无法满足
\(q(Ma_0)\)在和\(A_\text{th}\)确定的情况下，要使上式成立唯一的可能就是让\(A_0\)减小，这就对应着溢流。而超声速气流溢流（就是让流线转弯）只能通过激波来产生。因此，当飞行马赫数小于设计马赫数时，会在进气道的进口处形成一道弓形激波，气流经过弓形激波后，部分气流溢出，能进入进气道的气流所对应的面积\(A_0\)减小，如图49所示，这种状态就是进气道的“未起动”状态。
因为飞机总是需要从低速加速到设计速度的，因此总是先经历“未起动”状态。飞行速度增加到设计速度时，弓形激波仍然存在。激波导致总压减小，虽然喉部达到了声速，但通过的流量并未达到设计流量，对应的来流面积\(A_0\)没有达到设计状态，如下式所示
于是弓形激波无法消除，进气道仍然保持“未起动”状态。
一种起动的方式是让飞机继续加速，所需的溢流将减少，弓形激波向进口靠近。当飞行马赫数达到\(Ma_\text{s}\)时，有
这时喉部可以通过设计流量，激波会被吞入进气道中，并迅速通过收缩段和喉部，稳定在喉部下游的某处。之后在让飞机慢慢减速到设计状态，即可以完成进气道的起动。
\(Ma_\text{s}\)称为起动马赫数，可以根据上式计算得出其与设计马赫数的关系为
画出曲线，如图50所示，可以看到，设计马赫数较小时，采用加速的起动方式还是有可能的，比如设计马赫数为\(Ma_\text{d}=1.4\)，起动马赫数为\(Ma_\text{s}=1.58\)。当设计马赫数较大时，比如\(Ma_\text{d}=1.8\)，起动马赫数高达\(Ma_\text{s}=3.43\)，这就很难做到了。当设计马赫数为\(Ma_\text{d}=1.98\)时，起动马赫数为无穷大，理论上也不可能使用加速来起动进气道了。
更实用的起动的方法是把喉部面积做成可调的，或者在进气道的收缩段放气，也可以结合使用这两种方法。面积可调的喉部原理上很简单，就是在低速时放大喉部，把激波吞入后，到了设计速度时，再慢慢减小喉部，让喉部的马赫数达到一个刚大于1的值（比如1.1），使激波处于喉部后面不远的位置，这时的正激波产生的损失很小，可以接受。下游发动机产生的压力的扰动由喉部后的正激波前后移动来协调，不至于像喉部为声速的理想进气道那样稍有扰动就会吐出激波变成“未起动”状态。在进气道的收缩段放气也是一种很好的解决起动问题的方法，在起动阶段放气，在设计状态可以关闭放气，这些解决方案都属于工程实现问题，本书不再深入讨论。
内压式进气道存在起动困难和工作范围窄等问题，现在实用的超声速进气道多数是外压式进气道或混合式进气道。如图51的（a）所示，理想的外压式进气道的喉部就在入口处，整个进气道是扩张通道，超声速气流在进口前方通过一系列压缩波减速，在进口处降为声速，并在进气道内以亚声速减速。当然这种理想情况的进气道并不实用，启动上不稳定结构上也难以实现。实际的外压式进气道的进口之前通常是采用一道或几道斜激波来减速，而在进口处气流是还超声速的，在后方用一道正激波让气流变成亚声速，如图51的（b）和（c）所示。
外压式进气道不存在起动问题，当进气道后方的反压高于设计值时（对应发动机的流量小于进气道可通过的流量），正激波被推离进口，这种情况称为亚临界状态。通过正激波后的亚声速溢流来实现流量平衡。当进气道后方的反压低于设计值时（对应发动机的流量大于进气道可通过的流量），正激波进入进气道内部，这种情况称为超临界状态。这时，激波比设计状态强，引起的总压损失大，下游在保持相同马赫数的情况下，实际流量减小了，与来流的流量匹配。图52给出了三种状态下的外压式进气道流动情况，可见，靠正激波的位置不同就可以连续地实现上下游流量的匹配，没有内压式进气道的起动问题。
外压式进气道的气流在进口前一直朝一个方向转折，到达进口时，气流具有一个较大的朝外的角度，而在下游气流需要与唇口的内壁面平行，才能不进一步产生些激波。当飞行马赫数较大时，气流的转角很大，使得进气道的外罩外形过大，产生外部激波，增加飞机的阻力。因此还有一种设计方式是让气流来回转折，这就需要斜激波从唇口发出，这样的进气道是收—扩形式的，气流进入进气道后还要经过斜激波来减速。因此这种进气道属于外压与内压结合式，称为混合式进气道。图53给出了同样来流马赫数时的一种混合式进气道与外压式的比较，可以看到采用混合式压缩可以减小进气道的外部尺寸。