📖 气体的绝热等熵过程
1等熵过程关系式
很早的时候，人们对气体的基本性质进行研究，总结出了三种简单的热力学过程，即：等容过程、等压过程和等温过程，这三种过程中，系统都会和外部有热量交换，也就是说它们都是换热过程。三种过程对应的关系式如下
- ✵ 等温过程：\(p/\rho =RT=\text{Constant}\)，即波义耳定律；
- ✵ 等压过程：\(\rho T={p}/{R=\text{Constant}}\;\)，即盖·吕萨克定律；
- ✵ 等容过程：\(p/T=\rho R=\text{Contant}\)，即查理定律。
气体与外界没有热量交换的情况也是一种常见的热力学过程，称为绝热过程，在没有摩擦和掺混的情况下，绝热过程中熵保持不变，称为绝热等熵过程。下面我们就来推导绝热等熵过程的关系式。
首先给出气体熵变的关系式
\[S_2-S_1=C_\text{v}\ln \frac{T_2}{T_1}+R\ln \frac{V_2}{V_1}\]
（1）
等熵过程的熵变等于零，因此有
\[{{C}_{\text{v}}}\ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}+R\ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=0\]
用密度取代体积，上式变为
\[{{C}_{\text{v}}}\ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=R\ln \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\]
把等容比热容的关系带入，有
\[\frac{R}{\gamma -1}\ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=R\ln \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\]
整理可得
\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}={{\left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)}^{\gamma \text{-}1}}\]
（2）
这就是绝热等熵过程中，温度与密度变化之间的关系。根据理想气体状态方程，还可以得到如下的关系式
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}={{\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}} \right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}\]
（3）
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}={{\left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)}^{\gamma }}\]
（4）
2参数变化分析
图1给出了等温过程和等熵过程的𝒑-𝒗图，可以看出，相同压缩程度，等熵过程的压力增加更多，这时因为等温过程在压缩中对外放热了的缘故。
图1 等温过程和等熵过程的𝒑-𝒗图
图2给出了标准状态的空气在经过等熵压缩或膨胀时的压力、温度和密度三者的关系曲线。
图2 标准状态的空气在等熵压缩和膨胀中的参数变化
绝热指数表征了压缩过程中压力的增加程度，如式（4）所示。从理论上分析，单原子气体的绝热指数是5/3=1.67，双原子气体的绝热指数是7/5=1.4。也就是说，单原子气体的压力随密度的增加多一些，而双原子气体的压力随密度的增加少一些。这时因为双原子气体的单个原子储能方面多了原子的自转（高温时还有振动），因此，压缩功输入的能量更多地产生内能的增加，也就是温度的增加上。
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