📖 马赫数

1马赫数的定义

气流的运动速度𝑽 与声速𝒄的比值，称为气流的马赫数，以符号𝑴𝒂表示，即

\[Ma=\frac{V}{c}=\frac{V}{\sqrt{\gamma RT}}\] （1）

在气体动力学中，把小于声速的流动称为亚声速流动，大于声速的流动称为超声速流动。由于不同马赫数下的流动有着不同的特点，亚声速流动又细分为低速不可压缩流动、可压缩流动和高亚声速流动，超声速流动又分为一般的超声速流动和高超声速流动，如下表所示

⚛ \(Ma<1.0\)，亚声速流动，特点是一点的压力变化可以影响全流场。

✴ \(Ma<0.3\)，低速流动，特点是可以假设流动为不可压缩的。
✴ \(0.3<Ma<0.8\)，亚声速流动，特点是必须考虑气体的可压缩性，但流场中无激波。
✴ \(0.8<Ma<1.2\)，跨声速流动，特点流场中存在激波、膨胀波、壅塞等现象，马赫数对流通面积变化很敏感。

⚛ \(Ma=1.0\)，声速流动，实际流动中不会存在大面积的声速流动，声速流动只是亚声速和超声速的分界面。
⚛ \(Ma>1.0\)，超声速流动，特点是下游的压力变化无法传递到上游。

✴ \(Ma>5.0\)，高超声速流动，特点是气体发生电离，理想气体模型不再适用。

上面这些分类中，只有亚声速、声速和超声速是有严格定义的，其它的速度范围则并不严格。比如有时为了提高计算精度，把马赫数小于0.3的流动也当作可压缩流动处理，而马赫数超过4.0的飞行器也经常被当作高超声速飞行器对待。跨声速流动的定义就更加模糊，一般来说这是针对飞行器来定义的，当飞行器的速度小于声速，但在其表面有些部位气流达到了超声速时，这样的飞行条件就叫做跨声速。跨声速流动的特点是流场中存在大面积的亚声速区和超声速区，并且有激波和膨胀波。对于风洞来说，同样的来流条件下，气流绕过实验模型时是否会发生跨声速流动是与模型的形状相关的。以球体为例，来流马赫数达到0.573时，其表面就会出现声速区，也就是说对于球体，\(Ma>0.573\;\)就可以定义为跨声速了。对于翼型，来流马赫数要更高一些才会有超声速区，图1显示了某种翼型在不同来流马赫数情况下的流场特征。

图1 翼型的跨声速流动

2马赫数的物理意义

从马赫数的定义看，它表示了气流的速度大小。不过气体中的声速不是一个定值，而是与温度和气体种类都相关的，相同的马赫数可以对应完全不同的速度，下表列出了一些几种气体中的声速。

表1 几种气体中的声速

气体及温度	声速（m/s）
空气，-55℃	296
空气，0℃	331
空气，20℃	343
空气，800℃	640
二氧化碳，0℃	258
氦，0℃	973
氢，0℃	1320
氟利昂，17℃	140

可见不同气体中的声速差别很大，一般子弹的出膛速度是800m/s左右，在空气中属于超声速，在氦气和氢气中则属于亚声速。即使都是在空气中，不同温度下的声速差别也很大，战机在11km高的平流层以\(Ma=1.5\;\)的速度飞行，对应的速度是444m/s，同样的速度在地面附近对应的马赫数则是\(Ma=1.3\;\)。当战机在地面附近以以\(Ma=1.5\;\)的速度飞行时，气流冲进发动机的马赫数也是1.5，对应的速度是515m/s，如果战机的尾喷管是收缩型的，则喷出去的气流最大速度就是声速，但尾喷管中的气流温度很高，假设为800℃，则对应的气流速度为640m/s。喷出去的气流速度大于进入发动机的气流速度，所以发动机给飞机提供向前的推力。如果不了解这一点，就不能理解气流以\(Ma=1.5\;\)进入发动机，以\(Ma=1.0\;\)喷出，为什么还能产生推力。

既然马赫数并不对应速度，那它的物理意义是什么呢？

1. 气体宏观动能与微观动能之比

马赫数的平方为

\[M{{a}^{2}}=\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{V}^{2}}}{\gamma RT}\]

分子为速度的平方，代表了宏观定向运动的动能，分母的温度则代表了微观热运动的平均动能。可见，马赫数的平方代表了气体宏观动能与微观动能之比。

微观动能就是内能，与宏观动能一起构成气体的总能量。气体从特定压力温度状态开始等熵膨胀加速，温度下降，速度增加，内能不断地转化为宏观动能，最终的马赫数越大，则宏观动能所占的比例越高。极限状态下，\(Ma\to \infty \;\)，这并不对应\(V\to \infty \;\)，而是对应着\(T\to 0 \;\)，即气体的所有内能都转化成了宏观动能。这时的宏观动能显然是个有限值，因为气体的总能量是有限值，这个速度称为极限速度。15℃的静止空气从静止开始绝热膨胀加速，能达到的极限速度是761m/s，对应的绝对温度是0K，马赫数是无穷大。有关极限速度更详细的内容请见“临界参数与速度系数”部分。图2表示了不同温度的空气绝热膨胀所能得到的极限速度。

温度（℃）：

图2 空气绝能膨胀加速时的流速与马赫数的关系

2. 气体可压缩的程度

一维定常无粘流动的动量方程（一维欧拉方程）为

\[\frac{\text{d}p}{\rho }+V\text{d}V=0\]

把上式变换一下，有

\[-\frac{\text{d}p}{\text{d}\rho }\cdot \frac{\text{d}\rho }{\rho }\text{=}{{V}^{2}}\frac{\text{d}V}{V}\]

从声速公式的推导中，我们知道\({\text{d}p}/{\text{d}\rho }\;={{c}^{2}}\)，带入到上式中，整理得

\[{Ma}^{2}=\frac{-{\text{d}\rho }/{\rho }\;}{{\text{d}V}/{V}\;}\] （2）

式（2）中，\(-{\text{d}\rho }/{\rho }\;\)表示了密度的相对减小量，\(-{\text{d}V }/{V }\;\)表示了速度的相对增大量。可见，马赫数的平方式密度变化量与速度变化量的比值，马赫数越大，则相同加减速的情况下对应的密度变化程度越大。图3表示了气流的密度变化量与速度变化量的比值随马赫数的变化曲线，可见，当\(Ma<0.3\;\)时，密度变化只相当于速度变化的9%，所以一般把马赫数在0.3以下的气流当作不可压缩处理。当\(Ma=1\;\)时，密度的相对变化量正好等于速度的相对变化量，而当\(Ma>1\;\)时，密度的相对变化量比速度的相对变化量还要大。亚声速流动和超声速流动的很多现象相反，就是和这个相关的，将在准一维流动分析”部分详细讨论。对于高马赫数流动，密度的变化非常剧烈，比如当\(Ma=10\;\)时，密度的相对变化量是速度相对变化量的100倍，当速度变为原来的2倍时，密度将变为原来的1/200！

图3 气流的密度变化量与速度变化量的比值随马赫数的变化

3. 惯性力与弹性力之比

把马赫数定义中的声速用压力与密度的关系来表达，有

\[M{{a}^{2}}=\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{V}^{2}}}{{\text{d}p}/{\text{d}\rho }\;}=\frac{\rho {{V}^{2}}}{\rho \left( {\text{d}p}/{\text{d}\rho }\; \right)}\] （3）

上式中的分母可以变换一下

\[\rho \frac{\text{d}p}{\text{d}\rho }\text{=}\frac{\text{d}p}{-\frac{\text{d}\left( {1}/{\rho }\; \right)}{{1}/{\rho }\;}}=\frac{\text{d}p}{-\frac{\text{d}B}{B}}\]

其中的𝑩表示气体的体积。上式表示的事单位体积变化产生的压力变化，这就是体积弹性模量的定义，即

\[E=\frac{\text{d}p}{-\frac{\text{d}B}{B}}\]

式（3）可以改写为

\[M{{a}^{2}}=\frac{\rho {{V}^{2}}}{E}\] （4）

在式（4）中，\(\rho {V^2}\)代表了流体的惯性力大小，而𝑬代表了流体的弹性力大小。可见，马赫数表示了惯性力与弹性力之比。

其实真正代表惯性力与弹性力之比的无量纲数是柯西数𝑪𝒂，柯西数等于马赫数的平方，即

\[Ca=Ma^2\]

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流体中的声速 分子的速度 气体的压缩性 多变过程 返回主页