📖 气体分子的速度

当气体处于某一特定温度下时，大量分子的平均速度是一个定值，但任意分子的速度大小和方向具有随机性。气体分子的速度大小分布范围很宽广，总有些分子在某一瞬时几乎静止，还有一些气体分子的速度可以达到平均速度的几倍。想要计算出某一个分子的瞬时速度几乎是不可能的，但大量做随机运动的分子速度满足一定的统计规律。麦克斯韦在1859年给出了分子速度大小的分布公式，我们现在称之为麦克斯韦速率分布率。

现在只考察气体分子速度的大小，即速率𝒗，𝒗可以是从0到无限大的任何值。理论上，𝒗精确地等于任何值的可能性都是0，但如果寻找一个范围，比如𝒗在300-310m/s之间有多少个分子，则是可行的。所谓的速率分布就是要给出速度在𝒗和𝒗+𝐝𝒗之间的分子数𝐝𝑵𝒗，以及这个数量占总的分子数𝑵𝒗的比例𝐝𝑵𝒗/𝑵𝒗，定义：

\[\frac{\text{d}{{N}_{v}}}{N}=f(v)\text{d}v\] （1）

这里的\(f(v)\)就是我们要推导的速率分布函数，在统计学上称为概率密度，意义是：速度为𝒗∼𝒗+𝐝𝒗之间的单位速率区间分子数占总分子数的比例。

显然分布函数的总积分应该为1，即

\[\int_{0}^{N}{\frac{\text{d}{{N}_{v}}}{N}}=\int_{0}^{N}{f(v)\text{d}v}=1\]

分子的速度分布应该是什么样的呢？原理上其实很简单。根据气体动理论和理想气体模型，气体分子可以看作各自独立运动的完全弹性小球。如果一个具有完全弹性壁面的容器内只有一个小球，则它的速度大小永远不会改变，这是因为它和壁面的碰撞值改变速度方向，而不改变速度大小（这对应着绝热壁面）。但如果两个小球发生碰撞，它们各自的速度大小就都会发生变化。现在有数量非常多的分子位于某容器中，它们各自的初始速度可以是任意大小，速度快的分子和其它分子发生碰撞后，自身速度一般会变小；速度慢的分子和其它分子发生碰撞后，自身速度一般会变大。经过一段时间后，容器内的分子总体上会达到一种统计平衡状态，在这种平衡状态下，多数分子的速率会接近平均值，仍然会有一些低速和高速的分子，但数量都会比较少。

👉 弹性小球碰撞可以模拟理想气体的运动，点击下面按钮去看看吧。

弹性小球碰撞模拟器

虽然原理上很简单，但要真的推导出精确地数学表达式还是要费一番功夫的。麦克斯韦用概率统计方法得出了气体分子的速率分布函数，对推导过程感兴趣的可以参考统计物理或热学等相关教材，这里直接给出结果

\[f(v)={{\left( \frac{m}{2\pi {{k}_{\text{B}}}T} \right)}^{\frac{3}{2}}}4\pi {{v}^{2}}{{e}^{-\frac{m{{v}^{2}}}{2{{k}_{_{\text{B}}}}T}}}\] （2）

其中的𝒎为分子质量。

把式（2）中的分子质量和玻尔兹曼常数用分子的摩尔质量和气体常数表示，则有

\[f(v)={{\left( \frac{M}{2\pi {{R}_{\text{A}}}T} \right)}^{\frac{3}{2}}}4\pi {{v}^{2}}{{e}^{-\frac{M{{v}^{2}}}{2{{R}_{_{\text{A}}}}T}}}\]

用这个式子就可以计算出各种气体的分子速度分布，图1给出了同一种气体在不同温度下的速率分布函数的曲线，图2给出了相同温度下不同种类气体的速率分布函数曲线。

温度（℃）：

图1 氦气在不同温度下的分子速率分布

氦（He） 氖（Ne） 氩（Ar） 氙（Xe）

图2 几种单原子气体的分子速率分布

可以看到，某一特定温度下，气体分子的速率分布范围很宽，下面给出其中几个特征速度。

1. 最大概率速度

上面几个图中，纵坐标代表概率，所以曲线的最高点代表了最大概率位置，对应的横坐标速度就是分子的最大概率速度，可以通过对式（2）求导，让导数等于零来得到这个速度

\[\begin{split} \frac{\text{d}f(v)}{\text{d}v}&\text{=-}8\pi v{{e}^{\text{-}\frac{m{{v}^{2}}}{2{{k}_{\text{B}}}T}}}{{\left( \frac{m}{2\pi {{k}_{\text{B}}}T} \right)}^{\frac{3}{2}}}\left( \frac{m{{v}^{2}}}{2{{k}_{\text{B}}}T}\text{-}1 \right) \\ \\ & \text{=}0 \\ \end{split}\]

于是得到

\[{{v}_{\text{p}}}=\sqrt{\frac{2{{k}_{\text{B}}}T}{m}}=\sqrt{\frac{2{{R}_{\text{A}}}T}{M}}\] （3）

2. 平均速率

对于宏观看起来静止的气体，分子的平均速度必然是零。如果不考虑速度方向，只考虑速度的大小，则可以得出气体分子的平均速率.对分子速度先取绝对值再进行平均，就可以得到这个平均速率

\[\overline{\left| v \right|}=\int_{0}^{\infty }{vf(v)\text{d}v}\]

把式（2）代入上式，整理后可以得到

\[\overline{\left| v \right|}=\sqrt{\frac{8{{k}_{\text{B}}}T}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8{{R}_{\text{A}}}T}{\pi M}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{{v}_{\text{p}}}\] （4）

3. 速度的均方根

上面的平均速率是一种算术平均，在实际应用中很少用到，一般用分子速度的均方根来表示分子平均速率的大小，即

\[{{v}_{\text{rms}}}=\sqrt{\overline{{{v}^{2}}}}={{\left( \int_{0}^{\infty }{{{v}^{2}}f(v)\text{d}v} \right)}^{\frac{1}{2}}}\]

把式（2）代入上式，整理后可以得到

\[{{v}_{\text{rms}}}=\sqrt{\frac{3{{k}_{\text{B}}}T}{m}}=\sqrt{\frac{3{{R}_{\text{A}}}T}{M}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{{v}_{\text{p}}}\] （5）

这个式子也可以用简单的碰撞分析得到，详情请见“气体的压力和温度”的式（14）。

4. 声速

声速代表了压力变化在气体中传播的速度，是一个宏观速度，一般使用宏观的气体惯性与弹性的关系推导得到，详情请见“声速”部分。不过气体中压力信息的传递也是靠分子的微观热运动实现的，所以声速和分子速度有直接的关系。

宏观方法得到的声速为

\[c=\sqrt{\frac{\gamma {{k}_{\text{B}}}T}{m}}=\sqrt{\frac{\gamma {{R}_{\text{A}}}T}{M}}=\sqrt{\frac{\gamma }{3}}{{v}_{\text{rms}}}\] （6）

温度代表的是分子的平均动能，相同温度下，分子量越小的气体的分子速度就越大，图2给出了几种气体的速率分布曲线。可以看到，相同温度下，氦气的分子速度要比氧气和氮气的分子速度快得多。相应地，氦气中的声速也要快得多。有些娱乐节目用吸入氦气来变声，利用的就是这个原理。

一个容器中如果有两种不同分子量的气体，平衡状态两种气体的温度相同，但小分子的速度快，这也是很好理解的。用弹性小球来模拟，小球每次和大球相撞后，都会被以较大的速度被弹飞。经过多次碰撞后，小球的平均速率自然要快一些。

👉 按下面的按钮可以去看看这个一目了然的动画模拟。

两种尺度小球碰撞模拟器

─ ☕ ─

气体动理论 气体的压力和温度 分子自由程 声速 返回主页