📖 层流和湍流

虽然描述黏性流动的纳维斯托克斯方程早在第一次工业革命期间就已经建立了，但由于其复杂不易求解，因此在实际工程应用中的作用一直没有体现出来，倒是基于欧拉方程和无旋流动的势流方法可以得出一些有用的结果。然而势流方法对于流体中的物体所受的阻力以及流体机械的流动损失等问题是无能为力的，因为这些问题中黏性起着关键的作用。1904年，普朗特
（Ludwig Prandtl, 1875—1953）
  德国力学家。 [人物] 提出了著名的边界层流动理论之后，人们终于可以通过数学方法来定量评估黏性的影响了。

流体的黏性作用要通过微团的剪切运动体现出来，这种剪切运动出现在多种情况下，例如壁面附近的流动、两股不同速度的流体的掺混、射流与尾迹等。其中研究最多的是两种流动：一种是流体沿顺流向放置的平板的流动，另一种是流体在等直径的长圆管内的流动。前一种是最简单的外部流动，后一种是最简单的内部流动。

如果黏性的影响只是产生黏性切应力和黏性正应力的话，流体的问题也不至于太复杂。实际流动问题之所以复杂的原因还在于，对于很多流动而言，流体似乎并不是按照某种固定的规律进行的，而是表现为混乱的和缺少规则的运动。图1所示为一个人工喷泉，四周喷出来的水柱运动比较规矩，水基本是分层地平行流动，这样的流动称为层流。中间喷口出来的水则较为混乱，不但在空间上不规则，而且非定常性也很强，体现出一团一团的较为混乱的流动，这样的流动称为湍流。湍流是流体在惯性力和黏性力共同作用下（确切来说是缺少黏性力作用时）发生的一种复杂的运动现象，它的不易预测性是流体力学问题求解的主要障碍之一。

湍流现象在生活中很常见，所以相关的描述早已有之，例如达芬奇
（Leonardo Da Vinci, 1452—1519）
  文艺复兴时期艺术家、科学家、工程师。 [人物] 就对湍流有非常详细的记载和描绘。图2给出了达芬奇绘制的一些湍流流动示意图。

但是真正详细研究湍流发生条件的是雷诺
（Osborne Reynolds, 1842—1912）
  英国物理学家。 [人物] 在1883 年进行的著名的雷诺实验。这个实验第一次发现流动是层流还是湍流基本上只与某个无量纲数相关，这个无量纲数后来被称为雷诺数，符号为𝑹𝒆，其定义式为

式中：𝝆为流体的密度；𝑽为流体的运动速度；𝑳为流场中的某种特征尺度；𝝁为流体的动力黏性系数。

雷诺数表达式中最不好理解的就是特征尺度𝑳，很多情况下，取流场中哪个尺度作为特征尺度并不是很显而易见的。雷诺是在一个圆管内做的实验，他所用的特征尺度是圆管的直径𝑫。

雷诺实验的装置如图3所示，让水尽量不受扰动地进入圆管中，用染色剂来显示水流的状态，从而得出层流与湍流的发生条件。历史上不同的人做的雷诺实验得到的结果不尽相同，雷诺最先发现了一个临界雷诺数 \(Re_\text{cr} = 2100\) （现在通常采用的值是2300），小于此值时流动为层流，超过此数值时流动为湍流，但他同时指出这个值与管道进口的扰动、环境振动和噪声等都相关。

视频1给出了雷诺实验管内流动的状态，可以清楚地看到随着雷诺数的增加（对应流速的增加）流动从层流开始变得不稳定最终变为湍流的过程。

有一段时间研究者试图进一步明确临界雷诺数。雷诺本人就曾经通过尽量减小干扰将 \(Re_\text{cr}\) 提高到了12000。Ekman 在1910 年将这一数值提高到了40000，Pfenniger 在1961 年将这一数值提高到了10⁵，Salwen 在1980 年甚至将此数值提高到了10⁷。有理由认为，层流转捩为湍流需要两个条件，一个是雷诺数足够高，另一个是扰动足够大。雷诺数只决定流体的不稳定程度，至于会不会变成湍流还是需要有扰动的触发才行。只不过雷诺数足够高时，微小扰动的不可避免性使得这时的流动一定是湍流的。另一方面，雷诺数足够低时，即使大扰动使流动变成了湍流，流体也会自己恢复成层流。因此，严谨一点说，现实中遇到的管流，雷诺数小于2300 的应该是层流，雷诺数大于10⁵的应该是湍流，对雷诺数在2300~10⁵之间的流动则一般不能断定其流动状态。

湍流显然不只发生于管内，烟囱冒出的烟、湍急的河水等都是湍流。湍流的特征是必须有剪切运动才能产生和存在，当没有剪切运动时，湍流会逐渐扩散并耗散，最终返回层流状态。因此谈到湍流时，通常指的是临近壁面区域（管流和边界层流动）或流体之间存在剪切运动（掺混层、射流和尾迹）的流动。

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