📖 湍流边界层


从现象上看,湍流边界层与层流边界层完全不同。如视频1和图1所示,湍流边界层内部的速度分布非常混乱,几乎找不出规律,并且边界层外界也不恒定,同一流向位置的边界层厚度变化可以很大。观察距壁面某一距离的点,在该点上可能一会儿是湍流,一会儿是层流。这种层流和湍流交替的现象称为湍流边界层的间歇运动,按照湍流和层流所占时间的比例可以定义间歇因子:

视频1 使用运动平板进行湍流边界层的流动显示
图1 湍流边界层和速度分布示意图
\[\gamma ={{{t}_{\text{turb}}}}/{\left( {{t}_{\text{lam}}}+{{t}_{\text{turb}}} \right)}\;\]

离壁面较近的流动永远都是湍流,\(\gamma =1\),在足够远的外流区则永远是层流,\(\gamma =0\)。对于平板湍流边界层,间歇因子沿法向的分布大概如图2所示。可以看到,对于平板湍流边界层,𝟬.𝟰𝜹以下一直都是湍流,或者说\(\gamma =1\);𝟭.𝟮𝜹以上一直都是层流,或者说\(\gamma =0\)

图2 典型平板湍流边界层的间歇因子

既然湍流边界层没有固定的厚度𝜹,那这里用到的𝟬.𝟰𝜹和𝟭.𝟮𝜹又是从何而来的呢?这就涉及湍流理论的重要研究方法──湍流的时间平均。

很显然湍流都是非定常运动,但如果把湍流边界层内各点的速度在足够长的时间内平均,就会发现平均后的流场是非常有规律的,按照这种平均速度所定义的湍流边界层与层流边界层有着相似的规律。其边界层厚度也是随着流向在增加,流动在壁面处速度为零,且法向速度梯度也是在壁面处最大。

图3所示为对于平板边界层而言,流动分别为层流和湍流的速度型的比较。在相同的流动条件下,湍流边界层的厚度要比层流的大,图中将它们的厚度都无量纲化了,主要为了比较它们形状的不同。可以看出,湍流边界层的平均速度剖面比层流的速度剖面要“饱满”得多,从形状因子上看,平板层流边界层的形状因子为2.5左右,而平板湍流边界层的形状因子为1.3左右。

图3 平板层流和湍流速度剖面的对比

湍流发生在雷诺数较大的情况下。对于边界层而言,雷诺数定义中的速度可以采用外流的速度,而尺度有两种常见的取法,一种是以从前缘边界层开始到当前位置的流向长度为基准,另一种是以当地的某种边界层厚度为基准。无论采用哪种尺度做基准,理论上前缘点的雷诺数都为零,沿着流向长度的增加雷诺数逐渐增大。因此,边界层在一开始的时候应该为层流,当流动一定距离后,达到临界点,流动不再能保持稳定,层流就开始变成湍流(称为转捩)。因此,完整的平板边界层如图4所示。

图4 完整的平板边界层示意图(层流区-转捩区-湍流区)

在平板前缘刚开始的地方,雷诺数很低,这时的流动更接近于蠕动流,即黏性力占主导地位,所以会出现一个急剧增长的低速层。在其下游,随着雷诺数的增大,黏性力的作用逐渐减弱,开始符合普朗特提出的边界层厚度远远小于流向长度的特征,这时的边界层是层流的。在到达一定雷诺数后,层流边界层内部开始出现不稳定的波动(这里的雷诺数一般为\(Re_x =5.5×10^4\)左右),这种波动是受外界扰动而形成的,但流体仍然维持层流状态。在足够远的下游,随着雷诺数的增加,黏性的阻尼作用不足以抑制扰动,于是扰动被放大,并产生更多小的涡旋运动,出现局部的、偶发性的湍流斑(这里的雷诺数一般为\(Re_x =3.5×10^5\)左右)。在更远的下游,流动会逐渐转变为完全的湍流(一般在\(Re_x =4.0×10^6\)以上流动就是完全的湍流了)。平板边界层流动的层流向湍流的过渡是很漫长的一个过程,转捩区的长度可能会达到层流区长度的十几倍甚至几十倍。

湍流边界层内部的流动具有很强的非定常性,虽然通过统计平均,其平均速度型具有很好的规律,但被平均消掉的非定常速度脉动的影响还是存在的。事实上对边界层方程进行平均后,用平均速度表示的湍流边界层方程与层流边界层方程并不相同,方程里面出现了脉动量的影响。

应用牛顿切应力公式\(\tau=\mu(\partial u / \partial y)\)边界层理论中的边界层方程(4)可以重写为

\[u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=U\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial \tau }{\partial y}\]

这个式子当然仍可适用于层流,可以证明的是它同时也适用于湍流的平均流动,其中的速度变为平均速度,剪切力也变为平均剪切力,即

\[\bar{u}\frac{\partial \bar{u}}{\partial x}+\bar{v}\frac{\partial \bar{u}}{\partial y}=U\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial \bar{\tau }}{\partial y}\] (1)

不过这时的平均切应力将不止取决于平均速度梯度,还与脉动速度有关,即有如下关系式

\[\bar{\tau }=\mu \frac{\partial \bar{u}}{\partial y}-\rho \overline{{u}'{v}'}\] (2)

其中的𝒖'和𝒗'分别代表流向和法向的速度脉动量,也就是瞬时速度与平均速度之差,这种速度分解方法是雷诺提出来的,称为雷诺平均方法,是湍流研究的主要方法。这种方法将三个方向的速度分别分解为平均速度和脉动速度

\[u=\bar{u}+{u}',\qquad v=\bar{v}+{v}',\qquad w=\bar{w}+{w}'\] (3)

对于用平均量表示的边界层方程(1)来说,惯性力项仍与瞬时速度的表达式完全相同,只是在切应力项中有所不同,切应力满足式(2)所示的表达式。可以这样说,不管是定常的层流运动,还是非定常的湍流运动,任一时刻的黏性切应力都是满足本构方程的(应用于此处就是牛顿切应力公式\(\tau=\mu(\partial u / \partial y)\)),只是由于湍流的时间平均处理方法,才产生了所谓“湍流的切应力与层流的切应力不同”的说法。严格来说,应该这样说:对于湍流,使用平均速度定义的切应力并不等于其平均切应力。

对时间平均的方程来说,切应力上多出来的一项 \(-\rho \overline{{u}'{v}'}\) 称为雷诺切应力。也就是说,使用时间平均方法定义了湍流的平均切应力,它由两部分构成,与平均速度梯度相关的部分称为层流黏性力(或分子黏性力),与脉动速度相关的部分称为湍流黏性力(或涡黏性力)。式(2)可以进一步解读为

\[\bar{\tau }={{\tau }_{\text{lam}}}+{{\tau }_{\text{turb}}},\qquad {{\tau }_{\text{lam}}}=\mu \frac{\partial \bar{u}}{\partial y},\qquad {{\tau }_{\text{turb}}}=-\rho \overline{{u}'{v}'}\] (4)

在湍流边界层内,不但速度的平均值有着非常规律的分布,速度的脉动量大小也是很有规律的。上述的雷诺应力就表示了一种脉动速度的度量,有时也用脉动速度的均方根来表示三个方向的脉动速度大小。图5表示了平板湍流边界层的平均速度和脉动速度的实验测量结果。可以看出,平均速度在壁面处为零,并沿法向迅速增长,在距壁面𝟬.𝟮𝜹处速度就已经达到了外流速度的𝟬.𝟴倍,之后沿法向逐渐趋向于外流速度。三个方向脉动速度的大小(流向: \(\sqrt{\overline{u'^2}}/U\) ,法向:\(\sqrt{\overline{v'^2}}/U\) ,展向: \(\sqrt{\overline{w'^2}}/U\) )则各有不同,但规律相似。可以看出流向的脉动量最大,展向的脉动量次之,法向的脉动量最小。这是可以理解的,因为法向受壁面约束最大,脉动量自然应该最小。这三种脉动在𝟭.𝟮𝜹以外趋于零,这与前面讨论过的间歇因子在𝟭.𝟮𝜹以外趋于零是相符的。在边界层内,越是接近壁面,脉动量就越大,这是因为湍流脉动是由剪切产生的,壁面附近剪切强,自然脉动就大。但是挨着壁面的地方,受壁面的无穿透和无滑移条件的限制,三个方向的脉动都趋于零。可以这样说,湍流边界层的壁面附近存在一个层流区。

图5 平板湍流边界层中的平均速度和脉动速度分布

从图5中还可以看到的一个现象是,控制边界层流动的重要参数雷诺应力 \(-\rho \overline{{u}'{v}'}\) 在𝟬~𝟬.𝟮𝜹范围内几乎保持不变,在 𝟬.𝟮𝜹 以外逐渐衰减,在 𝟭.𝟬𝜹 处基本衰减为零。

代表湍流黏性力的雷诺应力(\({{\tau }_{\text{turb}}}=-\rho \overline{{u}'{v}'}\))在壁面处应该为零,而这里的速度梯度非常大,代表层流黏性力的分子黏性力(\({{\tau }_{\text{lam}}}=\mu ({\partial \bar{u}}/{\partial y})\))很大。在距离壁面非常小的范围内,湍流黏性力迅速上升,分子黏性力则迅速下降,很快湍流黏性力就占据了主导地位。可以说,在湍流边界层内,除了紧挨着壁面的薄层之外,切应力基本上是由雷诺应力提供的。包含上述分子黏性力占主导的薄层在内的壁面附近(大概𝟬~𝟬.𝟮𝜹的范围内),总的切应力 \(\bar{\tau }={{\tau }_{\text{lam}}}+{{\tau }_{\text{turb}}}\) 基本保持不变。根据这个特征,一般将湍流边界层分为内外两层来研究,内层中雷诺应力保持为常数,说明内层的湍流能量处于动态平衡之中。一方面壁面的剪切不断产生湍流脉动,另一方面脉动不断地耗散成内能,这两者的大小在内层大致相等。在外层,黏性耗散占了主导地位,湍流脉动沿法向逐渐减小。

针对湍流边界层的研究有很多,至今很多理论仍在发展之中。与层流边界层不同的是,湍流边界层相关的理论非常不成熟,相关研究在早期主要依靠实验,在近些年则主要依靠数值模拟。现在工程上应用的关于湍流边界层的“理论”多数都是从试验和计算中总结出的规律而已。

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