📖 边界层的三个厚度

对于实际的工程问题，有些时候可以不管边界层内部的真实流动，只考虑其对外流的影响。例如，对于风洞实验，风洞的壁面边界层并不是研究的内容，但这些流速较低的流体占据了一定空间，使风洞的有效流通面积减小了，或者说产生了一定的流动堵塞。对于一个低速风洞，如果其实验段是按照等截面设计的话，那么风洞中心线上的气流沿流线是有一定加速的。研究者或者需要定量地知道这个加速的影响，或者需要在事先设计时考虑壁面边界层的存在而让实验段稍有扩张，以抵消这个堵塞作用。

对于风洞中的实验模型，则关注点又会不同，模型的阻力可能是一个重要实验内容，这个阻力与气流和模型表面之间的摩擦力直接相关。因此，这时我们要研究边界层内部的流动，将环绕模型的粘性切应力与当地面积的乘积进行积分，就是这个模型所受的摩擦阻力。

还有一些时候，我们更关心流动过程中有多少机械能不可逆地转化成了内能，或者说有多少机械能损失。边界层内部存在着强剪切流动，因此就会有机械能的损失，损失的大小直接和剪切力大小及剪切形变率大小相关，也就是说，与边界层内部的流动形式直接相关。

上面谈到的堵塞、阻力和损失其实都是一段边界层产生的宏观效果，虽然它们在本质上是由边界层内部的详细流动决定的，但却可以通过一些宏观的参数来衡量，这些宏观的参数是对微观量的积分得到的。传统上用几种边界层厚度来分别对应这几个问题：堵塞对应着边界层的排挤厚度，阻力对应着边界层的动量损失厚度，损失对应着边界层的能量损失厚度。下面我们就来看看这几种边界层厚度的定义和所代表的含义。

因为粘性的作用，流体在壁面处存在着无滑移条件，紧挨着壁面的流体速度为零，而此处速度沿法向的梯度应该是一个有限值。因为根据牛顿切应力公式\(\tau=\mu (\partial u / \partial y)\)，既然流体与壁面的摩擦力是一个有限值，那么\(\partial u / \partial y\) 必然是一个有限值。在边界层外界处，根据流速分布的连续性可知，此处的流速应该等于主流的速度，并且根据外流的无粘特性，还可以推出流体在边界层外界附近的速度梯度为零。所以，边界层至少有如下两个边界条件：

在壁面处：\[u=0,\quad {\partial u}/{\partial y}\;={{{\tau }_{\text{w}}}}/{\mu }\;\]
在边界层外界：\[u=U,\quad {\partial u}/{\partial y}\;=0\]

根据这些边界条件，就可以大概画出边界层内的速度分布形式了。如图1所示，边界层内的速度从壁面处的零开始沿法向增加，到边界层外界处逐渐趋向于主流速度。速度梯度在壁面附近最大，越是远离壁面就越小，相应地，粘性的影响也是随着与壁面的距离而衰减的。

图1 边界层的名义厚度

理论上，粘性力直到无穷远处才会趋向于零，因此边界层并没有明确的外边界。不过边界层理论本来就是一种近似理论，这个思想也体现在边界层厚度的定义上，所谓的边界层外边界指的是满足具体问题的精度时，可以认为开始不受壁面粘性影响的位置。因此，这样定义出的边界层厚度𝜹不会是一个精确的物理量。工程上最常用的定义是认为当流速达到外流速度的99% 时，当地的速度梯度就已经小到可以忽略了。定义这里与壁面的距离为边界层的名义厚度，可以表示为𝜹或𝜹𝟬.𝟵𝟵，如图1所示。当然，根据具体问题的不同也可以选择其他定义方式，比如用𝜹𝟬.𝟵𝟱把流速达到外流速度的95% 的位置与壁面的距离定义为边界层的外界。

边界层的名义厚度并没有太多的实用意义，工程中更有意义的是其他几个厚度，下面来看一下边界层的排挤厚度的定义。如图2所示，壁面附近的流体受粘性影响而减速，同样的厚度内就会少流过去一部分流体，于是流体会被向上排挤，处于边界层之外的主流就相应地抬起一个高度，这个高度就定义为边界层的排挤厚度，一般用𝜹* 来表示。下面我们来具体推导一下排挤厚度的定义式。

图2 边界层排挤厚度的推导

从壁面开始到边界层外界之间通过的总流量为

\[{{\dot{m}}_{\text{real}}}=\int_{0}^{\delta }{\rho ub\text{d}y}\]

式中：𝒃为平板的展向宽度（垂直纸面方向的尺度）。

假设为不可压流动，上式可以写为

\[{{\dot{m}}_{\text{real}}}=\rho b\int_{0}^{\delta }{u\text{d}y}\]

如果边界层内的流体没有被减速，同样的高度范围内本应该通过的流量为

\[{{\dot{m}}_{\text{ideal}}}=\rho Ub\delta \]

由于粘性的存在，在边界层内，流体比起理想情况时少通过的流量为

\[\Delta \dot{m}={{\dot{m}}_{\text{ideal}}}-{{\dot{m}}_{\text{real}}}=\rho Ub\delta -\rho b\int_{0}^{\delta }{u\text{d}y}=\rho b\int_{0}^{\delta }{\left( U-u \right)\text{d}y}\]

外界流体被抬升了高度𝜹*，也可以理解为边界层内有厚度为𝜹*的区域没有流体通过而导致的。从这个角度看，少通过的流量可以表示为

\[\Delta \dot{m}=\rho Ub{{\delta }^{*}}\]

对比上面两式，可以得到排挤厚度的表达式为

\[{{\delta }^{*}}=\int_{0}^{\delta }{\left( 1-\frac{u}{U} \right)\text{d}y}\] （1）

可以看出，排挤厚度似乎与边界层内的速度分布和边界层厚度都有关。事实上，在边界层以外\(u=U\)，式（1）的被积函数为零。因此积分上限只要大于边界层厚度𝜹即可，而与𝜹本身无关，因此排挤厚度实际上只与边界层内的速度分布有关，其严格的定义式为

\[{{\delta }^{*}}=\int_{0}^{\infty }{\left( 1-\frac{u}{U} \right)\text{d}y}\] （2）

仿照排挤厚度的推导过程，还可以得到动量损失厚度和能量损失厚度，这里不再推导，而直接给出这两者在不可压条件下的表达式为

\[\theta =\int_{0}^{\infty }{\frac{u}{U}\left( 1-\frac{u}{U} \right)\text{d}y}\] （3）
\[{{\delta }_{3}}=\int_{0}^{\infty }{\frac{u}{U}\left( 1-\frac{{{u}^{2}}}{{{U}^{2}}} \right)\text{d}y}\] （4）

排挤厚度表示了由于边界层的存在损失了厚度为𝜹*的自由流体的流量；动量损失厚度表示了由于边界层的存在损失了厚度为𝜽的自由流体的动量；能量损失厚度表示了由于边界层的存在损失了厚度为𝜹𝟯的自由流体的动能。

另外，还有一个参数可以描述边界层速度型的“胖瘦”，这个参数称为形状因子，通常用𝑯表示，它的定义式是排挤厚度与动量损失厚度之比：

\[H=\frac{{{\delta }^{*}}}{\theta }\] （4）

上面这些参数都只与边界层内的速度分布相关，可以简单地评估一下它们的大小，这有助于更深入地理解边界层的概念。

假设边界层内的速度分布满足二次曲线（这个假设是比较合理的，因为层流边界层内的速度分布确实比较接近于二次曲线），即

\[\frac{u}{U}=a+b\left( \frac{y}{\delta } \right)+c{{\left( \frac{y}{\delta } \right)}^{2}}\]

通过壁面和边界层外界的条件可以确定此式中的待定系数，这些边界条件前面已经提过了，这里重写如下：

在壁面处：\[y=0, \quad u=0\]
在边界层外界：\[y=\delta, \quad u=U,\quad {\partial u}/{\partial y}\;=0\]

有了这些边界条件后，满足二次曲线的速度分布就确定了，即

\[\frac{u}{U}=2\left( \frac{y}{\delta } \right)-{{\left( \frac{y}{\delta } \right)}^{2}},\qquad 0\le y\le \delta \]

把上式代入式（1），（2）和（3）中，积分上限取为𝜹，得

\[{{\delta }^{*}}=\frac{1}{3}\delta ,\quad \theta =\frac{1}{7.5}\delta ,\quad H=2.5\]

可见当速度分布规律确定后，边界层的厚度关系就都确定了，图3所示为几种边界层厚度的大小关系。

图3 边界层三种厚度的大小关系

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