📖 平板层流边界层的布拉修斯解
在边界层理论中已经得到了边界层方程如下
\[u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\text{d}P}{\text{d}x}+\frac{\mu }{\rho }\left( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}} \right)\]
（1）
在推导这个方程时，假设了流动是定常的，因此它只适合于层流。由于其仍然是非线性的，得不到一般解。对于顺流向放置的平板层流边界层，沿流向压力梯度为零，普朗特的学生布拉修斯（Heinrich Blasius，1883—1970）在1908 年得到了准解析解。
方程（1）中，需要求解的变量有两个，𝒖和𝒗，如果能转化为一个变量就容易求解了。对于平板层流边界层来说，其流速分布如图1所示，即𝒖和𝒗都同时与𝒙和𝒚有关。但仔细观察，如果使用无量纲尺度和速度来表示，用𝒖/𝑼代替𝒖，𝒚/𝜹代替𝒚，则可以把沿流向的速度型都归一化，有可能用一条无量纲曲线来表示所有位置的边界层速度型。平板层流边界层就满足这个条件。也就是说，对于平板层流边界层，速度型经过无量纲化后是相似的。从而，原来的问题转化为单变量的方程，自变量为𝒚/𝜹，参变量为𝒖/𝑼。
图1 平板边界层方程的速度分布
上面分析中的𝜹是未知量，用作参考量不太方便，需要寻找另外的替代量。在边界层理论中，量纲分析时我们曾得到了下式
\[\frac{\delta }{L}\sim \frac{1}{\sqrt{Re}}\]
这个式子变一下形，可以得到
\[\delta \sim \sqrt{\frac{\mu L}{\rho U}}\]
用𝒙替代𝑳，就可以得到任意流向位置的边界层厚度估算式
\[\delta \sim \sqrt{\frac{\mu x}{\rho U}}\]
定义如下无量纲坐标和速度
\[\tilde{u}=\frac{u}{U},\quad \eta =\sqrt{\frac{\mu L}{\rho U}}\]
把原方程的自变量𝒙和𝒚替换为𝜼，而把𝒖和𝒗替换为\(\tilde{u}\)，就可以得到单变量的方程，从而把原方程转化为求解如下的关系式
\[\tilde{u}=\varphi \left( \eta \right)\]
方程转换的过程较为复杂，感兴趣的读者建议去看相应的教科书（一般的<黏性流体力学>书上有），得到的方程为
\[{\varphi }''\left( \eta \right)+\frac{1}{2}\left[ \int{\varphi \left( \eta \right)\text{d}\eta } \right]{\varphi }'\left( \eta \right)\]
为了处理上式中的积分项，令
\[f\left( \eta \right)=\int{\varphi \left( \eta \right)\text{d}\eta }\]
即
\[\varphi \left( \eta \right)={f}'\left( \eta \right)\]
得到
\[{f}'''\left( \eta \right)+f\left( \eta \right){f}''\left( \eta \right)=0\]
（1）
上式称为布拉修斯方程，边界条件为
壁面处：\[\eta =0,\quad f'=0\]
无穷远处：\[\eta =\infty,\quad f'=1\]
布拉修斯方程仍然是非线性的，得不到严格的解析解，布拉修斯用级数展开得到了准解析解，结果如下：
\[f={{\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left( -\frac{1}{2} \right)}}^{n}}\frac{{{0.332}^{n+1}}{{C}_{n}}}{\left( 3n+2 \right)!}{{\eta }^{\left( 3n+2 \right)}},\quad {{C}_{0}}=1,\quad {{C}_{1}}=1,\quad {{C}_{2}}=11,\quad {{C}_{3}}=375,\quad \]
现在我们可以用数值方法（比如四阶龙格库塔法）方便地得到方程（1）的数值解。图2给出了数值解与试验数据的对比，其中的实验数据是李普曼（Liepmann）给出的。
图2 布拉修斯解和实验数据的对比
─ ☕ ─
相关知识 👇