上一节中用均匀来流和偶极子叠加的方法模拟了圆柱绕流问题，通过势函数和流函数求解。这种方法的实质是在给定边界条件下求解拉普拉斯方程，较容易得到解析解。当边界条件比较复杂时，比如机翼的绕流问题，这种方法就很难进行了。因此，人们发展出了用复变函数来求解势流的方法。
复变函数产生于流体力学的研究。18 世纪时，达朗贝尔在流体力学的论文中提出了复变函数的概念，同期的欧拉也进行了一些研究。到19 世纪，柯西和黎曼在研究流体力学时进一步发展了复变函数理论。复变函数在流体力学中的应用主要集中在无黏流动的求解方面，即本章的内容。用无黏流动理论获得机翼升力表达式的库塔- 茹科夫斯基定理就是使用了复变函数方法。现在，复变函数已经在越来越多的领域得到了应用。
使用复变函数至少带来了下面几个便利。
根据势函数𝝓和流函数𝝍的定义，有如下关系式
可见，𝝓和𝝍满足如下关系
这种关系式在数学上称为柯西- 黎曼条件，满足这个条件的两个实函数𝝓和𝝍可以构造成一个复变解析函数
式中：\(z= x+iy\) 为复变量。
\(F(z)\)通常称为复势，用它代替𝝓和𝝍后，问题从两变量变为单变量，求解更加方便。例如点源、点涡，偶极子可以分别表示为
保角变换是复变函数中的一种数学方法，使用保角变换可以将一个平面坐标变换到另一个平面上，并保持两个平面的线段的比例以及对应的角度不变。这种变换在流体力学方面最有用的一个应用就是简单翼型的设计。使用不同半径的带旋转的圆柱叠加均匀来流，再通过保角变换将圆变换成翼型，不但可以得到翼型，还能直接得出解析解。图1表示了这样的一种保角变换。如果要得到气动性能更好的翼型，这种简单的方法是不够的，至少需要使用一排点涡，而不是一个点涡来模拟翼型。
势流法是不能处理外边界的，都是在无限大来流的条件下求解。而真实的流场中总是存在边界，比如翼型放在风洞中吹风的时候，由于风洞尺寸的限制，得到的翼型表面压力分布并不能直接与势流解对比。这时就可以用到镜像法，通过添加对称的流动来模拟风洞壁面。
图2（a）表示了点源的一侧有壁面的情况，流体在壁面处应该是直线流动，这时可以在相对壁面对称的位置添加一个点源，这样得到的势流解中，两个点源正中那条线就代表了风洞的壁面。如果是双侧有壁面则要复杂一点，因为在两侧都添加了点源后，中间的点源两侧都有限制，而边上的点源外侧没有限制。这导致内外两个点源的影响不一样，使它们之间的线不再是直线，不能代表风洞壁面。解决办法是在两侧的点源外部再添加点源，不过强度要小一些，理论上要在外侧放置无穷多的偶极子，如图2（b）所示，才可以真正模拟双侧的风洞壁面。