📖 无旋流动和速度势
当流体为无旋流动时，可以用一个标量来表示流体的速度，这样可以使流体问题的求解简化很多，这个标量就是速度势，或称为势函数，这种处理方法称为势流法。下面我们来看看速度势是怎么得出来的。
流体无旋运动的条件为
\[\nabla \times \vec{V}=0\]
而根据矢量运算法则，对于任何标量𝝓，有
\[\nabla \times \nabla \phi =0\]
对比上面两式，我们可以定义一个标量𝝓，其与速度的关系为
\[\vec{V}=\nabla \phi \]
（1）
或写成分量形式
\[u=\frac{\partial \phi }{\partial x},\quad v=\frac{\partial \phi }{\partial y},\quad w=\frac{\partial \phi }{\partial z}\]
（2）
可以看到，通过定义速度势，三个速度分量可以由一个标量分别沿三个方向的梯度来表示。如果把速度比拟为电学中的电流，则速度势就可以比拟为电势。电场中两点之间的电势差和电阻决定了电流的大小，同样，流场中两点之间的速度势差和距离也决定了速度的大小。
定义了速度势之后，可以把控制方程中的速度都用速度势来表示。对于不可
压流动来说，其连续方程为
\[\nabla \cdot \vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0\]
将速度势的定义式代入上式中，得
\[\nabla \cdot \nabla \phi ={{\nabla }^{2}}\phi =\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{z}^{2}}}=0\]
这是一个标准的拉普拉斯方程，对于二维流动问题，该方程变为
\[\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{y}^{2}}}=0\]
由二维的连续方程还可以定义流函数，通常用𝝍表示。其定义式为
\[u=\frac{\partial \psi }{\partial y},\quad v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}\]
（3）
将这个定义式代入平面上的无旋条件 \( \omega_z=0 \) 中，得
\[\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{y}^{2}}}=0\]
可见，对于二维无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程。
这样，对于二维不可压无旋流动，流动问题可由求解速度场转化为求解势函数和流函数，也就是变为数学上求解拉普拉斯方程的问题。流场中流函数相等的线就是流线，而势函数相等的线是处处与流线垂直的线，流线与等势线组成的正交的网格称为流网。流网方法是用于求解平面势流问题的一种方法，不仅可以解决很多工程问题，也可以给人以非常直观的流动图画。图1给出了几种流动的流网，可以看到，这种方法可以直接得出流场中各处的速度方向，对流动的理解是十分有用的。当然，具体的流动是否可以用势流方法求解还要看粘性和压缩性的影响大小，比如图1中的绕圆柱流动，势流解就与实际情况相差较大。实际情况的圆柱后部会有低速区存在，从而与理想流动完全不符。不过，实际流动中圆柱前半部的流线与势流解还是很接近的。
图1 几种典型流动的势流解给出的流线及等势线
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