📖 焓方程和熵方程
根据焓与内能的关系式可以得到单位时间流体焓的变化量为
\[\frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}}{\text{d}t}+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{p}{\rho } \right)\]
（1）
从内能方程可以得到得到含有耗散项的内能方程
\[\frac{\text{d}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{u}}{\text{d}t}=\frac{1}{\rho }\left[ {{\Phi }_{\text{v}}}-p\left( \nabla \cdot \vec{V} \right) \right]+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+{{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（2）
把式（2）代入式（1）中，得到焓随时间的变化为
\[\begin{align}
\frac{\text{d}h}{\text{d}t} & =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{p}{\rho } \right)+\frac{1}{\rho }\left[ {{\Phi }_{\text{v}}}-p\left( \nabla \cdot \vec{V} \right) \right]+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+{{{\dot{q}}}_{\text{rad}}} \\
& \text{ }=\frac{1}{\rho }\frac{\text{d}p}{\text{d}t}+p\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{1}{\rho } \right)-p\frac{1}{\rho }\left( \nabla \cdot \vec{V} \right)+\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+{{{\dot{q}}}_{\text{rad}}} \\
\end{align}\]
（3）
上式中速度的散度表示了流体微团体积的变化率，可以写成如下的表达式：
\[\nabla \cdot \vec{V}=\frac{1}{\delta B}\frac{\text{d}\left( \delta B \right)}{\text{d}t}=\rho \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{1}{\rho } \right)\]
（4）
把式（4）代入式（3）中，整理可以得到：
\[\frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{1}{\rho }\frac{\text{d}p}{\text{d}t}+\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+{{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（5）
这就是流动过程的焓方程。可见，流动中有三种因素会引起焓的变化：压力改变、黏性耗散和与外界的换热。
熵与焓的关系式为
\[T\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{\text{d}h}{\text{d}t}-\frac{1}{\rho }\frac{\text{d}p}{\text{d}t}\]
（6）
把式（5）代入式（6）中，得到
\[T\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+{{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（7）
这就是流动过程的熵方程。可见，流动中有两种因素会引起熵的增加：粘性耗散和从外界获得热量。对于绝热流动，熵增只由粘性耗散产生。
在流动问题中经常用到总焓的概念，总焓是气流的焓与动能之和，代表了忽略重力势能后气流的总能量。把动能方程两端都除以密度，重写如下：
\[\frac{\text{d}\left( {{{u}_{i}}{{u}_{i}}}/{2}\; \right)}{\text{d}t}={{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}+\frac{1}{\rho }{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{\partial {{x}_{i}}}\]
（8）
把焓方程（5）和动能方程（8）相加，就得到总焓方程
\[\begin{align}
\frac{\text{d}{{h}_{\text{t}}}}{\text{d}t} & =\left[ {{f}_{\text{b},i}}{{u}_{i}}+\frac{1}{\rho }{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{\partial {{x}_{i}}} \right] \\
& +\left[ \frac{1}{\rho }\frac{\text{d}p}{\text{d}t}+\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}(\lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}})+{{{\dot{q}}}_{\text{rad}}} \right] \\
\end{align}\]
（9）
此式中的压力对时间的全导数也就是物质导数，可以表达为
\[\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\frac{\partial p}{\partial t}+{{u}_{i}}\frac{\partial p}{\partial {{x}_{i}}}\]
（10）
动能方程中包含流体微团平动时表面力做的功，把表面力中的压力和黏性力分开写，有如下关系式：
\[{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{ij}}}{\partial {{x}_{i}}}={{u}_{j}}\frac{\partial \left( -p{{\delta }_{ij}} \right)}{\partial {{x}_{i}}}+{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{\text{v},ij}}}{\partial {{x}_{i}}}\]
（11）
其中的\({{\tau }_{\text{v},ij}}\) 表示扣除压力的表面力，即黏性力。
把式（10）和式（11）代入式（9）中，整理可得
\[\frac{\text{d}{{h}_{\text{t}}}}{\text{d}t}={{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}\text{+}\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial t}+{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{\text{v},ij}}}{\partial {{x}_{i}}}+\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}(\lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}})+{{\dot{q}}_{\text{rad}}}\]
（12）
这是流动的总焓方程。可见，有四种因素可以增加流体的总焓：体积力做功、非定常压力做功、黏性力做功和从外界获得热量。把熵方程（7）代入总焓方程（12）中，并忽略体积力（即忽略重力），得：
\[\frac{\text{d}{{h}_{\text{t}}}}{\text{d}t}=\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial t}+{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{\text{v},ij}}}{\partial {{x}_{i}}}+T\frac{\text{d}s}{dt}\]
（13）
可见，要想无损失地改变流体的总焓，只能通过非定常压力做功或者黏性力带动微团平动的方式。实际上黏性力产生的平动一定会伴随着变形，所以，非定常压力做功是唯一的无损增加流体总焓的方法。利用流体为工质做功的各类机械中，改变流体总焓的方式都是通过非定常压力的方式，比如活塞、叶轮等。从式（13）还可以看出，在绝热、定常、忽略体积力的情况下，增加流体总焓的唯一途径是来自边界上的黏性力做功。
图1表示了风扇叶轮对气流做功的示意图。叶轮主要是通过叶片给气流施加的非定常压力来增加总焓的，不过其轮毂会通过定常的黏性力拖动气流沿周向运动，这也会增加气流的总焓，即式（12）等号右边的第3项和第4项。也就是说，通过轮毂黏性力产生的气流总焓增加，一定伴随着熵増。
图1 风扇叶轮对气流的做功方式
在推导一维积分形式的能量方程时，会引入轴功的概念，这里来看一下轴功在微分形式的能量方程中是如何体现的。把一维和三维的总焓方程写在一起如下
\[\begin{align}
& {{h}_{\text{t2}}}-{{h}_{\text{t1}}}=-g\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)-{{w}_{\text{s}}}+q \\ \\
& \frac{\text{d}{{h}_{\text{t}}}}{\text{d}t}={{f}_{\text{b,}i}}{{u}_{i}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial t}+{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{\text{v,}ij}}}{\partial {{x}_{i}}}+\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\left( \lambda \frac{\partial T}{\partial {{x}_{i}}} \right)+{{{\dot{q}}}_{\text{rad}}} \\
\end{align}\]
根据上面两式可以看出，轴功的表达式为
\[-{{w}_{\text{s}}}=\int{\left( \frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial t}+{{u}_{j}}\frac{\partial {{\tau }_{\text{v,}ij}}}{\partial {{x}_{i}}}+\frac{1}{\rho }{{\Phi }_{\text{v}}} \right)}\text{ d}t\]
（14）
可见，轴功由三部分组成：非定常压力做功、黏性力所做的移动功和黏性力所做的变形功。其中，黏性力所做的移动功总是伴随着变形功，而变形功会产生熵增。图1所示的风扇效率的定义为有用功与总功之比，其中的有用功就对应着非定常压力功，而总功则还包括黏性力做功。要提高风扇的效率就要减小轴功中的黏性力做功部分。
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