📖 正激波前后的气流参数
1. 马赫数的变化
正激波是波面为平面，并沿波面的法向从高压区向低压区传播的压缩波。我们在前面用管内加速的活塞来生成的就是正激波，正激波扫过静止的气体后，其后面的气体会跟随激波运动，但速度比波速慢。以波面为参照系，流向激波和离开激波的气流马赫数请参见
对于激波的形成和波速，列出如下
\[M{{a}_{1}}=\sqrt{1+\frac{\gamma +1}{2\gamma }\left( \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}-1 \right)}\]
（1）
\[M{{a}_{2}}=\sqrt{1+\frac{\gamma +1}{2\gamma }\left( \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}-1 \right)}\]
（2）
从上面两式可以推导激波前后马赫数之间的关系，先从两式中分别解出压比，再令它们相等，有
\[\begin{split}
\frac{2\gamma }{\gamma +1}& \left( M{{a}_{1}}^{2}-1 \right)+1 \\
& ={1}/{\left[ \frac{2\gamma }{\gamma +1}\left( M{{a}_{2}}^{2}-1 \right)+1 \right]}\; \\
\end{split}\]
整理，可得
\[M{{a}_{2}}^{2}=\frac{M{{a}_{1}}^{2}+\frac{2}{\gamma -1}}{\frac{2\gamma }{\gamma -1}M{{a}_{1}}^{2}-1}\]
（3）
激波前后马赫数的关系见图1
图1 激波前后马赫数随压比的变化
2. 朗金—雨贡纽关系式
在流体中的声速中，我们曾经得到了一个可以描述一般阶跃波的波速公式，现在重写如下
\[V_1=\sqrt{\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\left( \frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}}} \right)}\]
（4）
这个波速式阶跃波相对于波前气体的速度，用连续方程可以进一步得出阶跃波相对波后气体的速度为
\[V_2=\sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}\left( \frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}}} \right)}\]
（5）
这两个关系式是根据连续方程和动量方程得出的，我们还有一个能量方程可以用。气流经过激波虽然不再是等熵流动，但仍然是绝能流动，满足如下能量方程
\[{{c}_{\text{p}}}{{T}_{1}}+\frac{{{V}_{1}}^{2}}{2}={{c}_{\text{p}}}{{T}_{2}}+\frac{{{V}_{2}}^{2}}{2}\]
根据气体状态方程，把温度用压力和密度表示，上式可变为
\[\frac{\gamma }{\gamma -1}\left( \frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}-\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{V}_{2}}^{2}-{{V}_{1}}^{2} \right)\]
把式（4）和（5）代入到上式中，并整理，可得
\[\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}+1}{\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}+\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}\]
（6）
根据气体状态方程，还可以得出其他两个关系如下
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=\frac{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}-1}{\frac{\gamma +1}{\gamma -1}-\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}}\]
（7）
\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}+1}{\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}+1}\]
（8）
式（6）~（8）这三个关系称为朗金—雨贡纽（Rankine-Hugoniot）关系式，给出了激波前后气体参数比之间的关系，是根据突跃绝热的条件得出的。气体经过激波的流动是不等熵的，我们知道等熵过程的气体参数之间也有固定的关系，即
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}={{\left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)}^{\gamma }}\text{, }\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}={{\left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)}^{\gamma -1}}\text{, }\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}={{\left( \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}} \right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}}\]
突跃绝热过程的压比不能表示为密度比的指数关系，因此不是多变过程。图2给出了等熵过程与突跃绝热过程的对比，可以看到，两者在小压比的情况下较为接近，当压比较大时，突跃过程由于损失增大，开始偏离等熵过程。在较大的压比时，等熵过程对应着较大的压缩比，而突跃过程则有一个压缩比上限。从式（6）可以得出这个压缩比上限为\({(\gamma \text{+}1)}/{(\gamma \text{-}1)}\;\)，若取这个值为6，即突跃绝热的方式最多能把气体压缩为原体积的1/6，而等熵过程则没有这个限制，理论上可以无限压缩气体。这种差别的内在原因是什么呢？原因是突跃绝热压缩中，有部分能量不可逆地变成了气体的内能，对于相同体积压缩比的情况，突变绝热过程的温升比等熵过程大。因此，当激波的强度很大时，压升更多地由温升而产生，而不是由体积减小产生，极限情况下，压升完全由温升来产生，体积不再变化。
图2 突跃绝热与等熵过程的对比
在处理含有激波的流动问题时，比较常见的是已知激波之前气流的马赫数，从式（3）也就已知了激波之后的气流马赫数，激波前后的其他气流参数关系也都可以用波前的马赫数来表示，下面来推导这些关系。
3. 状态参数的变化
气流通过激波时，没有与外部的能量交换，因此气流总温不变，即
\[T_{\text{t},2}=T_{\text{t},1}\]
（9）
利用马赫数关系式（3）和总静温关系式，可以由（9）得到激波前后的静温关系式
\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)\left( \frac{2\gamma }{\gamma -1}Ma_{1}^{2}-1 \right)}{\frac{{{\left( \gamma +1 \right)}^{2}}}{2\left( \gamma -1 \right)}Ma_{1}^{2}}\]
（10）
激波前后压力的关系实际上已经在前面得到了，从式（1）可以解出
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=\frac{2\gamma }{\gamma +1}Ma_{1}^{2}-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\]
（11）
把式（10）和（11）代入气体状态方程，可得密度的关系为
\[\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{\left( \gamma +1 \right)Ma_{1}^{2}}{2+\left( \gamma -1 \right)Ma_{1}^{2}}\]
（12）
图3给出了气体的三个状态参数随激波前马赫数的变化关系，可以看到气体经过激波时，其温度、压力和密度都是增大的，其中密度比的理论最大值是\({(\gamma \text{+}1)}/{(\gamma \text{-}1)}\)，而温度比和压力比理论上可以趋于无穷大。
图3 激波前后气体参数的变化
激波产生的温升和压升是非常可观的，马赫数为2的正激波使气流的温度和压力分别变为原来的约1.7倍和4.5倍，马赫数为5的正激波使气流的温度和压力分别变为原来的约5.8倍和29倍，马赫数为15的正激波使气流的温度和压力分别变为原来的约45倍和262倍。不过，当马赫数较高时，气体偏离理想气体，这里的公式也将失效，要使用高超声速流动理论处理。
根据气体状态方程，并使用总温不变的关系，可以得到激波前后总压和总密度是同比变化的，即
\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}=\frac{{{\rho }_{\text{t,2}}}}{{{\rho }_{\text{t,1}}}}\]
由滞止参数的定义，有
\[\frac{{{p}_{\text{t,1}}}}{{{p}_{\text{1}}}}={{\left( \frac{{{\rho }_{\text{t,1}}}}{{{\rho }_{\text{1}}}} \right)}^{\gamma }},\text{ }\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{2}}}={{\left( \frac{{{\rho }_{\text{t,2}}}}{{{\rho }_{2}}} \right)}^{\gamma }}\]
这两个式子相除，得到
\[\begin{split}
\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}& =\frac{{{p}_{\text{2}}}}{{{p}_{\text{1}}}}{{\left( \frac{{{\rho }_{\text{t,2}}}}{{{\rho }_{\text{t,1}}}} \right)}^{\gamma }}{{\left( \frac{{{\rho }_{\text{1}}}}{{{\rho }_{2}}} \right)}^{\gamma }} \\
& =\frac{{{p}_{\text{2}}}}{{{p}_{\text{1}}}}{{\left( \frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}} \right)}^{\gamma }}{{\left( \frac{{{\rho }_{\text{1}}}}{{{\rho }_{2}}} \right)}^{\gamma }} \\
\end{split}\]
整理得到
\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}={{\left( \frac{{{p}_{\text{2}}}}{{{p}_{\text{1}}}} \right)}^{\frac{1}{1-\gamma }}}{{\left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}\]
把压比和密度比的关系式（11）和（12）代入到上式中，整理可得
\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}=\frac{{{\left[ \frac{\left( \gamma +1 \right)Ma_{1}^{2}}{2+\left( \gamma -1 \right)Ma_{1}^{2}} \right]}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}}{{{\left( \frac{2\gamma }{\gamma +1}Ma_{1}^{2}-\frac{\gamma -1}{\gamma +1} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}}\]
（13）
4. 速度系数的变化
式（3）已经给出了激波前后马赫数的关系，把速度系数和马赫数的关系代入，就可以得出速度系数的关系。不过，速度系数是速度与临界声速的比值，而激波前后的临界声速是不变的，因此速度系数的变化就体现了速度的变化，应该比马赫数的关系更为简单。在气体动力学函数中我们推导过冲量函数，使用它可以较为方便地得到速度系数的关系。
气流通过激波的过程只受压差力的作用，因此冲量守恒，即
\[\dot{m}V+pA=\frac{\kappa +1}{2\kappa }\dot{m}{{c}_{\text{cr}}}z\left( \lambda \right)=\text{Const}\]
流量和临界声速都保持不变，所以冲量函数守恒
\[z\left( {{\lambda }_{1}} \right)=z\left( {{\lambda }_{2}} \right)\]
把冲量函数的关系式代入，有
\[{{\lambda }_{1}}+\frac{1}{{{\lambda }_{1}}}={{\lambda }_{2}}+\frac{1}{{{\lambda }_{2}}}\]
满足上式的情况有两种，分别为\(\lambda_2=\lambda_1\)和\(\lambda_2=1/\lambda_1\)。显然\(\lambda_2=\lambda_1\)对应着没有激波的情况，而\(\lambda_2=1/\lambda_1\)对应着有激波的情况，从而得到激波前后的速度系数关系为
\[{\lambda_1}{\lambda_2}=1\]
（14）
从这里的推导还可以得出一个结论，对于等截面定常无黏绝热管流来说，流动只存在两种可能：流速保持不变，或者存在正激波且波前后的速度系数互为倒数。
由式（14）还可以得出
\[{{V}_{1}}{{V}_{2}}=c_{\text{cr}}^{\text{ }2}\]
（15）
临界声速是气流等熵加速或减速到声速时的速度，激波前后的总温相等，所以等熵加减速到声速时的温度相同，临界声速也就相同。
利用激波前后速度关系式，从式（15）可以得到
\[{{c}_{\text{cr}}}=\sqrt{\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}}}}\]
（16）
在流体中的声速中推导声速时，给出了弱压力波的传播速度（即声速）也是>
\[c=\sqrt{\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{\rho }_{2}}-{{\rho }_{1}}}}\]
（17）
对于弱扰动如声波，波前后的气流速度都是声速，都等于临界声速。而对于强扰动如激波，波前的气流速度是超声速，波后的气流速度是亚声速，且波前的声速较低，而波后的声速较高，但波前波后的临界声速仍然与弱扰动时的临界声速表达式相同，相当于把激波看成等熵时它的波速。
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