📖 等截面摩擦管流

1基本物理模型

本节所讨论的流动是只考虑摩擦对流动的影响，忽略其它因素，即流动是基于下列条件和假设的：

图1给出了等截面摩擦管流的物理模型，空气从截面1流到截面2的过程中，受到壁面摩擦的阻力作用，相应地气流的密度𝝆、压力𝒑、速度𝑽和温度𝑻都有所改变。

图1 等截面摩擦管流模型

实际管流中总是存在摩擦的，特别是在有些长距离输送流体的管道中，摩擦是最重要的影响因素。对于不可压缩流动，流体在长距离的直管内会达到充分发展状态，如果是层流，就符合泊肃叶流动，有解析解，如果是湍流，流动的平均参数沿流向不变，也有一些实验数据和经验解。对于可压缩流动，比如各种气体沿管道的高速流动，就没有充分发展的说法了，值得专门研究。

2摩擦的影响

取管道的一段来研究，微控制体如图1中的虚线所示。壁面摩擦的直接作用体现在动量方程中，所以我们从动量方程入手分析，控制体所受的三个表面力分别为

\[\begin{align} & {{F}_{\text{left}}}=pA \\ \\ & {{F}_{\text{right}}}=-\left( p+\text{d}p \right)\left( A+\text{d}A \right) \\ \\ & {{F}_{\text{wall}}}=-{{\tau }_{\text{w}}}\cdot \pi D\text{d}x \\ \end{align}\]

进出控制体的动量流量分别为

\[\begin{align} & {{\left( \dot{m}V \right)}_{\text{in}}}=\rho VA\cdot V \\ \\ & {{\left( \dot{m}V \right)}_{\text{out}}}=\rho VA\cdot \left( V+\text{d}V \right) \\ \end{align}\]

带入动量方程中，注意到\(A=\pi D^2/4\)，简化并忽略二次小量，得

\[-\frac{1}{4}D\text{d}p-{{\tau }_{\text{w}}}\text{d}x=\frac{1}{4}D\rho V\text{d}V\] （1）

工程中一般使用摩擦系数\(C_\text{f}\) 来表示摩擦力的大小，一般可以认为它只与雷诺数和壁面粗糙度有关，在较高雷诺数和特定壁面粗糙度下基本为常数，其定义为

\[{{C}_{\text{f}}}=\frac{{{\tau }_{\text{w}}}}{{\rho {{V}^{2}}}/{2}\;}\]

代入到式（1）中并整理可得

\[\frac{\text{d}V}{V}+\frac{\text{d}p}{\rho {{V}^{2}}}+2{{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}=0\] （2）

上式中的第二项进行如下变换，消去密度

\[\begin{split} \frac{\text{d}p}{\rho {{V}^{2}}}& =\frac{1}{{{V}^{2}}}\frac{p}{\rho }\cdot \frac{\text{d}p}{p}\text{=}\frac{\gamma RT}{{{V}^{2}}}\frac{1}{\gamma }\cdot \frac{\text{d}p}{p} \\ \\ & =\frac{{{c}^{2}}}{{{V}^{2}}}\frac{1}{\gamma }\cdot \frac{\text{d}p}{p}=\frac{1}{\gamma M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}p}{p} \\ \end{split}\]

代回到式（b）中，可得

\[\frac{\text{d}V}{V}+\frac{1}{\gamma M{{a}^{2}}}\frac{\text{d}p}{p}+2{{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}=0\] （3）

此式给出了摩擦（\(C_\text{f}\)）对速度和压力的影响，但我们想知道的是摩擦单独对某一参数的影响，这就需要再考察其它的关系式，下面给出几个微分关系式

连续方程：

\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}V}{V}=0\] （4）

能量方程：

\[{{c}_{\text{p}}}\text{d}T+V\text{d}V=0\] （5）

状态方程：

\[\frac{\text{d}p}{p}-\frac{\text{d}\rho }{\rho }-\frac{\text{d}T}{T}=0\] （6）

能量方程中的两项可以进一步变换如下

\[\begin{align} \frac{1}{{{V}^{2}}}& \left( {{c}_{\text{p}}}\text{d}T+V\text{d}V \right) \\ & =\frac{{{c}_{\text{p}}}}{{{V}^{2}}}\text{d}T+\frac{\text{d}V}{V} \\ & =\frac{\frac{\gamma }{\gamma -1}RT}{{{V}^{2}}}\frac{\text{d}T}{T}+\frac{\text{d}V}{V} \\ & =\frac{1}{\gamma -1}\frac{{{c}^{2}}}{{{V}^{2}}}\frac{\text{d}T}{T}+\frac{\text{d}V}{V} \\ & =\frac{1}{\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}}\frac{\text{d}T}{T}+\frac{\text{d}V}{V} \\ \end{align}\]

于是能量方程重新写为

\[\frac{1}{\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}}\frac{\text{d}T}{T}+\frac{\text{d}V}{V}=0\] （7）

把（4）和（7）代入到（6）中，消去密度和温度，可以得到压力与速度之间的关系

\[\frac{\text{d}p}{p}+\left[ 1+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}} \right]\frac{\text{d}V}{V}=0\] （8）

这样我们就得到了另一个速度和压力关系式，把（8）和（3）联立，就可以分别解出速度和压力随摩擦系数的变化如下

\[\frac{\text{d}V}{V}=\frac{2\gamma M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （9）
\[\frac{\text{d}p}{p}=-\frac{2\gamma M{{a}^{2}}\left[ 1+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}} \right]}{1-M{{a}^{2}}}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （10）

利用连续方程（4）还可以得出密度的变化

\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }=-\frac{2\gamma M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （11）

把（10）和（11）带入（6）中，可得温度的变化

\[\frac{\text{d}T}{T}=-\frac{2\gamma \left( \gamma -1 \right)M{{a}^{4}}}{\left( 1-M{{a}^{2}} \right)}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （12）

由马赫数定义式可得

\[\frac{\text{d}Ma}{Ma}=\frac{\text{d}V}{V}-\frac{1}{2}\frac{\text{d}T}{T}\]

把（9）和（12）代入到上式中，可以得到马赫数的变化

\[\frac{\text{d}Ma}{Ma}=\frac{2\gamma M{{a}^{2}}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}{1-M{{a}^{2}}}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （13）

根据总静压关系式

\[{{p}_{\text{t}}}=p{{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}^{\frac{\gamma }{\gamma \text{-}1}}}\]

可得其微分关系式

\[\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}=\frac{\text{d}p}{p}+\frac{\gamma M{{a}^{2}}}{1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}}}\frac{\text{d}Ma}{Ma}\]

把（10）和（13）带入上式中，整理可得

\[\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}=\text{-}2\gamma M{{a}^{2}}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （14）

根据熵的关系式

\[\text{d}s={{c}_{\text{v}}}\frac{\text{d}T}{T}-R\frac{\text{d}\rho }{\rho }\]

把式（11）和（12）带入到上式中，整理可得

\[\frac{\text{d}s}{{{c}_{\text{p}}}}=2\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}\cdot {{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}\] （15）

式（9）-（15）给出了摩擦对管流中各参数的影响，可以看出马赫数在其中起到很关键的作用，可以画出特定摩擦作用（\(C_\text{f}\text{d}x/D=\text{Constant}\)）下各参数增量随马赫数的变化规律，如图2所示。

图2 不同马赫数下摩擦对气流参数的影响

可以看到，摩擦对亚声速和超声速气流有着完全不同的影响，亚声速时，摩擦作用会使气流速度增加（\({{\text{d}V}/{V}\;>0,\text{ d}Ma}/{Ma}\;>0\)），而超声速时，摩擦作用使气流速度减小（\({{\text{d}V}/{V}\;<0,\text{ d}Ma}/{Ma}\;<0\)），总之，摩擦总是会使气流速度趋向于声速。流速越接近声速，摩擦的效果就越明显，在声速附近，一丁点的摩擦就会引起巨大的速度变化，使气流速度达到声速。

摩擦对于三个气体状态参数的影响也有类似现象，在摩擦的作用下，亚声速时，三个状态参数都减小，超声速时，三个状态参数都增加。总压代表了气流的机械能，在有摩擦的情况下，机械能会不可逆地转化为内能，所以无论亚声速还是超声速，总压都是减小的，只是马赫数越高，总压下降得越多。

我们可以从流动机理上解释一下这些参数变化规律的内在原因。直管道内的气体受到壁面摩擦阻力的作用下并不一定会减速，因为还有流向压差力提供的驱动力。对于不可压缩流动来说，驱动力正好和摩擦阻力抵消，于是流体沿管道匀速流动。对于可压缩流动来说，这两者就不一定是能抵消的关系了，原因是气体的压力变化与速度变化之间的关系要符合能量方程和气体状态方程。

式（9）就是综合了动量方程、连续方程、能量方程和气体状态方程而得出的规律。摩擦产生的直接效果是气体的机械能向内能转化，而温度变化又引起压力的变化，压力变化使图1中的控制体进出口压力不相等，产生了流向的压差力。在亚声速时，这个压差力比壁面摩擦力还要大，于是气流加速，而在超声速时，这个压差力比壁面摩擦力要小，于是气流减速。

虽然摩擦不断地使机械能转化为内能，但由于亚声速时气体的加速作用，内能更多地转化为了机械能，所以亚声速时摩擦的效果是使温度降低的。同理，压力和密度也由于气体的加速膨胀而降低。

超声速时，各种参数的变化似乎更符合我们的直觉，比如摩擦使气流速度降低，使温度升高，这是问什么呢？这个问题可以用和前面的变截面管流一样的思路来理解。气流通过收缩通道时，受到壁面的阻碍，超声速气流会减速，而亚声速气流反而会加速，也是由于阻碍产生的流向压差力所造成的。亚声速气流在受到阻碍时，压力信息会向上游传播使，上游压力升高，产生流向压差力，结果反而使气流加速。而超声速气流在受到阻碍时，压力信息无法向上游传播，于是气流就只能被减速了。

式（9）~（15）是微分关系式，可以分析各参数的变化方向，用于计算具体的值则不太方便，下面来推导从截面1到截面2之间气流变化的积分关系式。从（13）可以得到摩擦力与马赫数之间的关系为

\[{{C}_{\text{f}}}\frac{\text{d}x}{D}=\frac{1-M{{a}^{2}}}{2\gamma M{{a}^{3}}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}\cdot \text{d}Ma\]

沿长度为L的管道积分，有

\[\begin{align} & \frac{1}{D}\int_{0}^{L}{{{C}_{\text{f}}}\text{d}x}=\int_{M{{a}_{1}}}^{M{{a}_{2}}}{\frac{1-M{{a}^{2}}}{2\gamma M{{a}^{3}}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}\cdot \text{d}Ma} \\ \\ & =\frac{1}{4\gamma }\left( \frac{1}{Ma_{1}^{2}}-\frac{1}{Ma_{2}^{2}} \right)+\frac{\gamma +1}{8\gamma }\ln \left[ \frac{Ma_{1}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2} \right)}{Ma_{2}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)} \right] \\ \end{align}\]

摩擦系数沿管道的积分可以理解成一种平均，定义管道的平均摩擦系数为

\[\overline{{{C}_{\text{f}}}}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}{{{C}_{\text{f}}}\text{d}x}\]

从而有

\[\begin{split} \overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{L}{D}& =\frac{1}{4\gamma }\left( \frac{1}{Ma_{1}^{2}}-\frac{1}{Ma_{2}^{2}} \right) \\ \\ & +\frac{\gamma +1}{8\gamma }\ln \left[ \frac{Ma_{1}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2} \right)}{Ma_{2}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)} \right] \\ \end{split}\] （16）

一般的计算中，摩擦系数经常取为常数。根据实验测量，对于亚声速流动，摩擦系数基本不受马赫数的影响，对于超声速流动，则需要考虑压缩性的影响。对摩擦系数影响最大的是流态，即流动是层流还是湍流，其次是雷诺数和壁面粗糙度。已知了摩擦系数，就可以用式（16）计算出进出口马赫数的关系了。

有了进出口的马赫数，其它的参数可以通过它们与马赫数的关系得到。使用速度系数与马赫数的关系，可以得到速度系数的关系

\[\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{M{{a}_{2}}}{M{{a}_{1}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （17）

临界声速不变，速度比就等于速度系数之比，即

\[\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{M{{a}_{2}}}{M{{a}_{1}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （18）

密度与速度成反比，因此有

\[\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （19）

绝能流动中总温不变，静温比可以由温比函数\(\tau \left( Ma \right)\)得到

\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}\] （20）

把密度比和温度比代入状态方程中可以得到压力比

\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （21）

总压比可以用连续方程得到，\({{{p}_{\text{t,2}}}}/{{{p}_{\text{t,1}}}={q\left( M{{a}_{1}} \right)}/{q\left( M{{a}_{2}} \right)}\;}\;\)，因此有

\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}=\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}}\] （22）

由\({{s}_{2}}-{{s}_{1}}=R\ln \left( {{{p}_{\text{t,1}}}}/{{{p}_{\text{t,2}}}}\; \right)\)可得熵增为

\[\frac{{{s}_{2}}-{{s}_{1}}}{R}=\ln \left[ \frac{M{{a}_{2}}}{M{{a}_{1}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}} \right]\] （23）

上面的式（17）~（23）中都含有类似的项

\[\frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}\]

其中最简单的是温度比，可以把其它关系式都表示为温度比的函数，列出如下

\[\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{M{{a}_{2}}}{M{{a}_{1}}}{{\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （24）
\[\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （25）
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}} \right)}^{{1}/{2}\;}}\] （26）
\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}=\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}}\] （27）
\[\frac{{{s}_{2}}-{{s}_{1}}}{R}=\ln \left[ \frac{M{{a}_{2}}}{M{{a}_{1}}}{{\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}} \right]\] （28）

式（24）~（28）不但表达式更加简洁一些，也更容易看出各参数之间的关系。

当已知摩擦系数和进口条件时，可以先由式（16）计算出口马赫数，再用式（17）~（23）计算其它出口参数。还有一种相对简单的计算方法，就像分析变截面管流的时候经常使用喉部为声速的条件进行计算一样，摩擦管流也可以利用声速截面进行计算。

我们已经知道摩擦使亚声速气流加速，使超声速气流减速，也就是说，对于任意马赫数的流动，只要管道够长，摩擦系数够大，流动最终都可以变为声速。因为声速时的各种气动函数都会变得简单，我们就可以利用这个声速截面去求解我们关心的截面上的参数就更简单一些。把达到声速时的管长称为最大管长，记为\(L_\text{max}\)，此截面的参数称为临界参数，用下标“𝐜𝐫”表示，则有如下一些关系式

\[\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{{{L}_{\max }}}{D}=\frac{1-M{{a}^{2}}}{4\gamma M{{a}^{2}}}+\frac{\gamma +1}{8\gamma }\ln \left[ \frac{\left( \gamma +1 \right)M{{a}^{2}}}{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}} \right]\] （29）
\[\frac{V}{{{V}_{\text{cr}}}}=Ma{{\left[ \frac{\gamma +1}{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}} \right]}^{{1}/{2}\;}}\] （30）
\[\frac{\rho }{{{\rho }_{\text{cr}}}}=\frac{1}{Ma}{{\left[ \frac{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}}{\gamma +1} \right]}^{{1}/{2}\;}}\] （31）
\[\frac{T}{{{T}_{\text{cr}}}}=\frac{\gamma +1}{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}}\] （32）
\[\frac{p}{{{p}_{\text{cr}}}}=\frac{1}{Ma}{{\left[ \frac{\gamma +1}{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}} \right]}^{{1}/{2}\;}}\] （33）
\[\frac{{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t,cr}}}}=\frac{1}{Ma}{{\left[ \frac{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}}{\gamma +1} \right]}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}}\] （34）
\[\frac{s-{{s}_{\text{cr}}}}{R}=\ln \left[ Ma{{\left( \frac{\gamma +1}{2+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}} \right]\] （35）

注意，上述临界参数虽然也用下标“𝐜𝐫”表示，但是与一般的临界参数不是一个意思。临界参数是气流等熵加减速到声速时的参数，而这里的临界参数是气流在等截面摩擦管道中加减速到声速时的参数，是不等熵的。根据式（29），取平均摩擦系数为0.0025，可以把最大长度与马赫数的关系画成曲线，如图6-58所示，可以看到，不同的起始马赫数都对应着一个最大管长。当马赫数较低时，最大管长相当大，比如马赫数为0.2时，最大管长为1453倍直径。当马赫数为高超声速时，最大管长趋向于82.15倍直径。

一般的气体动力学书上把式（29）~（35）事先计算出来，做成表格，需要时可以查表计算，也可以编制计算机程序计算。一般来说，首先需要用式（29）来计算摩擦产生的影响，如果已知马赫数求解最大长度就比较容易容易，而已知最大长度求解马赫数则较为麻烦一些。下面我们通过一个例子来看一下摩擦管流的计算。

【例1】 如图3所示，一个足够大的压力罐中装有温度为15℃的压缩空气，放气管直径10cm，长20m，并假设已知这段管道的平均摩擦系数为0.005，现在已经测得放气管开始处的马赫数为0.2，试求：出口处的气流马赫数和气流温度。

图3 压力罐通过长管道放气

解：压力罐足够大，里面的气体在过程中可看成静止，并假设管道对外绝热。

根据式（29）有

\[\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{{{L}_{\max }}}{D}=\frac{1-Ma_{1}^{2}}{4\gamma Ma_{1}^{2}}+\frac{\gamma +1}{8\gamma }\ln \left[ \frac{\left( \gamma +1 \right)Ma_{1}^{2}}{2+\left( \gamma -1 \right)Ma_{1}^{2}} \right]=3.633\]
\[{{L}_{\max }}=\frac{3.633D}{\overline{{{C}_{\text{f}}}}}\text{=}72.66\text{m}\]

可见20m的出口处还未达到声速。设出口处的马赫数为\(M{{a}_{2}}\)，则有

\[\frac{1-Ma_{2}^{2}}{4\gamma Ma_{2}^{2}}+\frac{\gamma +1}{8\gamma }\ln \left[ \frac{\left( \gamma +1 \right)Ma_{2}^{2}}{2+\left( \gamma -1 \right)Ma_{2}^{2}} \right]=\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{\left( {{L}_{\max }}-L \right)}{D}=2.633\]

上式需要查表或者编制程序求解，结果为：\(M{{a}_{2}}=0.2289\)

道出口的总温等于进口的总温：

\[T_\text{t}=(273.15+15)\text{K}=288.15\text{K}\]

所以管道出口的静温为：

\[T=T_\text{t}/{(1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_2^2)}=285.16\text{K}=12.01^{\text{o}}\text{C}\]

【例2】接上题，在工程问题中，马赫数是需要专门测量的，一般为未知，更容易知道的条件是压力罐中的压力和温度，以及环境大气压力。现已知压力罐中气体的表压是1.5个大气压，试计算管道进出口的气流马赫数。

解：由于进出口的马赫数都未知，而摩擦系数和管长已知，可以使用式（16）

\[\frac{1}{4\gamma }\left( \frac{1}{Ma_{1}^{2}}-\frac{1}{Ma_{2}^{2}} \right)+\frac{\gamma +1}{8\gamma }\ln \left[ \frac{Ma_{1}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2} \right)}{Ma_{2}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)} \right]=\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{L}{D}\] （a）

上式中有两个未知数\(Ma_1\)和\(Ma_2\)，我们还需要找到一个关系式。由（22）可得

\[{{p}_{\text{t,2}}}={{p}_{\text{t,1}}}\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}}\] （b）

而出口处的总静压与马赫数的关系为

\[{{p}_{\text{t,2}}}={{p}_{\text{2}}}{{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2} \right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}\] （c）

令（b）和（c）相等

\[{{p}_{\text{t,1}}}\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}{{\left( \frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}}={{p}_{\text{2}}}{{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2} \right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}\]

整理可得

\[\frac{M{{a}_{1}}}{M{{a}_{2}}}\frac{{{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2} \right)}^{-\frac{1}{2}}}}{{{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)}^{\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}}}}=\frac{{{p}_{\text{2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}\] （d）

已知出口压力为大气压，进口总压为罐内压力，于是式（d）中也只有两个未知数\(Ma_1\)和\(Ma_2\)。联立（a）和（d），使用计算机编程求解，结果为：

\[M{{a}_{1}}=0.3279,\text{ }M{{a}_{2}}=0.7311\]

注：求解这类问题可以借助Matlab的数值求解功能实现，比如求解本题的代码如下：

root2func.m

function F = root2func(x)

    F(1) = (x(2)^2-x(1)^2)/(4*1.4*x(1)^2*x(2)^2)+(1.4+1)/(8*1.4)*...

    log((x(1)^2*(1+0.2*x(2)^2))/(x(2)^2*(1+0.2*x(1)^2)))-0.005*20/0.1;

    F(2) = x(1)/x(2)*(1+0.2*x(2)^2)^(-1/2)/((1+0.2*x(1)^2)^...

    ((1.4+1)/(2*(1.4-1))))-1/2.5;

end

main.m

x = fsolve(@root2func,[0.3,0.5])

从上面的两个例子可以看到，摩擦管流的计算比起含有激波的变截面管流要麻烦一些，原因是虽然这两者都属于不等熵流动，但变截面管流只受压缩性的影响，而不考虑黏性，摩擦管流中则同时有压缩性和黏性两种作用，这也是式（16）中同时含有马赫数和摩擦系数的原因。

3摩擦壅塞

在前面提到了管道最大长度的概念，无论一开始气流是亚声速还是超声速，经过了\(L_\text{max}\)的长度后，都会达到声速。与收缩管流类似，声速截面代表了气流的最大流通能力，如果管道比\(L_\text{max}\)还长，则出口最多也只能是声速，并且更长的管道产生更大的总压损失，出口处的总压更小，因此质量流量会减小，这种现象称为摩擦壅塞。

1. 亚声速进口

对于亚声速进口的流动，摩擦管流与收缩管流的表现有类似的地方，图4给出了这两者的对比图。一般情况下，亚声速进口的气流条件并不是马赫数不变，而是总压不变，比如气流从压力罐中流出就是这样。当来流的总压足够大时，收缩管流的出口总是能达到声速，如果在原出口的后面继续加一段收缩管道，则新的出口为声速，原出口位置变为亚声速，管道流量减小。

图4 亚声速进口的摩擦管流与收缩管流的类比

摩擦管流的分析要复杂一些，因为总压不再保持恒定，同样流速下，管道越长，总压损失就越大，但实际情况是管道越长，流速就会越低，对应的单位长度总压损失变小。那么延长管道时，总压损失到底是增大了还是减小了呢？实际上还是增大的，也就是说管道长度增加产生的总压损失增大程度要大于流速减小产生的单位长度总压减小，使它俩的乘积增大的。如果一段摩擦管流的管道长度正好为\(L_\text{max}\)，则出口为声速，这时如果继续延长管道，会有两种可能。

第一种可能，如果进口气流总压足够大，则经过管道损失后，在新的管道出口处的总压与背压之比仍然大于临界压比（\(p_\text{t}/p_\text{b}\gt 1.893\)），于是出口为声速。由于总压损失比原来大，根据流量方程可知，管道流量减小，进口马赫数减小，对应的\(L_\text{max}\)变长，正好等于新的管长。

第二种可能，如果进口气流总压不够大，新增加了管长后，出口处的总压与背压之比小于临界压比，则出口变为亚声速，流量减少更多，进口的马赫数也下降更多，对应的\(L_\text{max}\)比新的管长还要长。这种情况下再怎么增加管长都没办法让出口达到声速，因为增加管长会使进口马赫数下降，继而增大要求更长的管道来达到声速，永远无法满足。这其中重要的原因就是进口的总压不够大，经过管道损失后剩余的总压不够达到声速了。这里还可以得出一个推论，不断地增加管长，就可以损失掉任意大的进口总压。当管道无限长时，出口的速度会接近于零，就起到了阻断流动的作用。

上面都是定性的分析，实际上我们可以计算出总压损失与管长之间的关系，从而得到管长与出口气流马赫数的关系，使用的方法参见前面的【例2】。图5给出了平均摩擦系数为0.0025时，不同进口总压条件下出口马赫数随管长的变化。可以看到，如果进口总压与出口背压之比大于临界压比，当管道较短时，出口流速为声速，当管长大于某一值时，出口流速开始下降，当管长趋于无穷大时，出口速度趋于零。出口刚好为声速的管长（图5中曲线的折点处）可以称为临界管长，比如当出口为大气压且来流总压为8个大气压时，这个临界管长为\(L/D=3328\)。

图5 不同进口总压条件下出口马赫数随管长的变化

2. 超声速进口

对于超声速进口的流动，摩擦管流与收缩管流的表现也有类似的地方，图6给出了这两者的对比图。超声速进口的条件是马赫数不变，比如管道前面是拉瓦尔喷管，或管道以超声速在静止空气中飞行。对于收缩管流，当出口面积大于临界面积时，管道出口仍然为超声速，出口面积等于临界面积时，出口是声速，如果在已经达到临界状态的原出口的后面继续加一段收缩管道，则管内会产生激波，且前推后稳定在拉瓦尔喷管的扩张段，或者在进口前形成脱体激波。

图6 超声速进口的摩擦管流与收缩管流的类比

对于摩擦管流，流动同时受入口马赫数和出口背压影响。先来分析在背压足够低的情况，这时流动只受进口马赫数影响，不用考虑背压。这种情况下，当管道的长度小于\(L_\text{max}\)时，出口仍然为超声速；当管道长度等于\(L_\text{max}\)时，出口为声速；当管道长度比\(L_\text{max}\)大，但大得不多时，会在管内产生激波，激波后的亚声速气流在管道内加速，出口为声速；当管道长度比\(L_\text{max}\)大得很多时，激波会一直前移到进口前面，停留在拉瓦尔喷管的扩张段或在进口前形成脱体激波，使摩擦管道的进口变为亚声速，上述分析可见图6的下半部分。可见，同样出口为声速，当管道内存在激波时，管道要更长一些，这时用式（29）计算的最大管长就失效了，需要以激波为新的起始点，用激波后的马赫数来计算最大管长。

如果考虑背压的影响，情况就更加复杂一些。现在我们假设一个管道长度小于\(L_\text{max}\)，背压很低，出口是超声速，令背压逐渐升高，出口外的流动状态改变与超声速收—扩管流的出口外是一样的（参见变截面管流的图36）。当背压很低时，气流在出口外继续膨胀，形成膨胀波，这是欠膨胀状态，随着背压的增加，流动会经历等熵流动状态和过膨胀状态，过膨胀状态时，出口外有斜激波，继续提高背压，则斜激波的逐渐向出口靠拢，当形成贴着出口的正激波时，再继续增加背压，激波就会进入管道内，出口变成亚声速。这时进口的流动仍然不受影响，马赫数不变，继续增加背压实际上跟前面分析的继续增加管长的效果类似，最终都会使激波前移到进口上游，使整个管道内变为亚声速流动。

对于管道长度大于\(L_\text{max}\)的情况，当背压足够低时，出口为声速，如图6最下面的图所示。当背压较高时，出口是亚声速，这时背压的大小可以影响管内激波后面的流动，背压越高激波就越强并越靠前，当背压高到使激波前移出进口后，使整个管道内的流动都成亚声速。

图7和图8给出了管道的长度大于最大长度时，管内激波的位置以及马赫数沿管道的分布，可以看到激波前的气流为超声速气流的减速过程，而激波后的气流为亚声速气流的加速过程。利用出口气流速度为声速的条件和摩擦管流关系式可以求出激波的位置。

图7 进口马赫数为2.0，不同管长对应的管内马赫数分布（鼠标悬停或点击重放）
图8 进口马赫数为2.0，不同管长对应的管内马赫数分布

前面我们一直使用马赫数来进行分析和求解，原因是马赫数的物理意义更加明确，易于理解。不过在摩擦管流中，由于与外界绝能，总温不变，临界声速也不变，所以显然使用速度系数l更加方便一些。使用速度系数与马赫数的关系，可以从式（6.35）得到使用速度系数的表达式

\[\left( \frac{1}{\lambda _{1}^{2}}-\frac{1}{\lambda _{2}^{2}} \right)\text{-}\ln \left( \frac{\lambda _{2}^{2}}{\lambda _{1}^{2}} \right)\text{=}\frac{8\gamma }{\gamma +1}\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{L}{D}\] （36）

针对图9的模型，先对进口到激波之间（1-s截面）使用式（36），有

\[\left( \frac{1}{\lambda _{1}^{2}}-\frac{1}{\lambda _{\text{s1}}^{2}} \right)\text{-}\ln \left( \frac{\lambda _{\text{s1}}^{2}}{\lambda _{1}^{2}} \right)\text{=}\frac{8\gamma }{\gamma +1}\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{{{L}_{\text{s}}}}{D}\] （37）
图9 计算摩擦管流内部激波位置的模型

再对激波到出口之间(s-2截面）使用式（36），并注意到\(\lambda_2=1\)，有

\[\left( \frac{1}{\lambda _{\text{s2}}^{2}}-1 \right)\text{-}\ln \left( \frac{1}{\lambda _{\text{s2}}^{2}} \right)\text{=}\frac{8\gamma }{\gamma +1}\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{\left( L-{{L}_{\text{s}}} \right)}{D}\] （38）

上面两式中的\(\lambda_\text{s1}\)和\(\lambda_\text{s2}\)分别为激波前后的马赫数，它们之间的关系为\(\lambda_\text{s1} \lambda_\text{s2}=1\)，所以式（38）可以变为

\[\left( \lambda _{\text{s1}}^{2}-1 \right)\text{-}\ln \lambda _{\text{s1}}^{2}\text{=}\frac{8\gamma }{\gamma +1}\overline{{{C}_{\text{f}}}}\frac{\left( L-{{L}_{\text{s}}} \right)}{D}\] （39）

式（37）与（39）中只有两个未知数，波前速度系数\(\lambda_\text{s1}\)和激波位置\(L_\text{s}\)，可以联立求解，继而得到马赫数沿管道的分布。前面的图8给出的是进口马赫数为2.0，平均摩擦系数为0.0025的情况下，不同管长时马赫数的变化趋势。

实际的摩擦管流内部的激波形式非常复杂，不是单纯的正激波，，也可能不是简单的一道激波，这是激波与黏性剪切层相互作用产生的。实际的流动不是一维流动，中心线上的流速是超声速，而壁面附近的流速是亚声速，因此激波不会与壁面相交。激波与壁面边界层干涉使流动十分复杂，图10给出了一种实际的管内激波的形式。

图10 真实的摩擦管流内部的激波

4范诺线

摩擦管流在𝑻-𝒔图上的曲线称为范诺线，其积分关系式就是前面的式（28），微分关系式为

\[\text{d}s=\frac{R}{\gamma -1}\left( 1-\frac{1}{M{{a}^{2}}} \right)\frac{\text{d}T}{T}\] （40）
\[\text{d}s=\left[ \frac{1}{\gamma -1}-\frac{1}{2\left( {{{T}_{\text{t}}}}/{T}\;-1 \right)} \right]R\frac{\text{d}T}{T}\] （41）

使用式（41）可以在𝑻-𝒔图上画出范诺线，气流在摩擦管流中的流动过程就是沿范诺线的变化过程。

图11给出了典型的范诺线，曲线的下半段对应进口为超声速的情况，上半段对应进为亚声速的情况，熵的最大值对应着声速。由于实际的绝热过程只能沿熵增的方向进行，因此从范诺线可以看出，摩擦会使流速趋向于声速，而不会反向进行。

图11 摩擦管流的范诺线

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