📖 斜激波
1斜激波的形成
具有尖锐前缘的物体在超声速运动时会产生斜激波，原因是这样的物体前缘附近不存在驻点，没有明显的压升，因而也就不具备产生正激波的条件。另外，壁面的内折角也会产生激波。其实上面这两节讲述的斜激波产生原理是相同的，都是超声速气流突然转折而产生的。如图1所示，当均匀流动的气体遇到楔形体时，会被分成两部分，分别沿楔形体上表面和下表面流动。这两部分是对称的，取一半来研究，就相当于沿平面流动的气体遇到一个突然的转折角。
图1 楔形体产生斜激波的原理与壁面内折相同
如果单独观察激波本身，斜激波和正激波并无本质不同，都是流场中的压力间断面形成的压力跃升波，这个跃升波的传播速度相对于未受扰动气流是超声速，传播方向垂直于波面，从高压区指向低压区。斜激波与正激波的不同点在于来流方向与波面不垂直，其垂直于波面的速度分量等于激波的传播速度，而平行于波面的速度分量对气体参数也有影响，所以要复杂一些。不同于弱扰动形成的马赫波，斜激波的倾斜角并不等于马赫角，而是大于马赫角，原因是激波的传播速度是超声速的，如图2所示。
图2 斜激波的倾斜角不等于马赫角（鼠标悬停或点击重放）
在膨胀波前后的气流参数关系中给出了超声速气流经过一个外折角时，膨胀波的马赫角和气流偏角的计算方法，使用的是普朗特—迈耶函数，这种方法是在已知马赫角的条件下得出的，只适合于弱扰动波，并不适合于斜激波。斜激波的倾斜角不像马赫角那样只取决于来流马赫数，还与气流经过激波后的转角有关。下面将使用和前面正激波类似的方式，根据绝热过程的特性，使用三大方程来推导斜激波的关系式。
2斜激波前后的气流参数关系
使用图3所示的流动模型来推导斜激波前后的气流参数关系。超声速气流在壁面内折角d的作用下产生一道斜激波，激波角为𝜷，气流经过斜激波后的转折角是𝜹。把激波前后的气流速度𝑽𝟭和𝑽𝟮分别分解为沿激波法向𝒏和切向𝒕的分量，并取包含一段斜激波的薄片为控制体（如图中虚线所示），分别沿斜激波的法向和切向列出三大方程如下
\[{{\rho }_{1}}{{V}_{1n}}={{\rho }_{2}}{{V}_{2n}}\]
（1）
\[{{p}_{1}}-{{p}_{2}}={{\rho }_{2}}V_{2n}^{2}-{{\rho }_{1}}V_{1n}^{2}\]
（2）
\[V_{1t}=V_{2t}\]
（3）
\[{{c}_{\text{p}}}{{T}_{1}}+\frac{V_{1}^{2}}{2}={{c}_{\text{p}}}{{T}_{2}}+\frac{V_{2}^{2}}{2}\]
（4）
图3 斜激波前后气流参数推导模型
1. 速度系数的变化
对能量方程（4）的两侧引入理想气体状态方程和定压比热容关系，有
\[\begin{split}
\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}& +\frac{V_{1}^{2}}{2}=\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}+\frac{V_{2}^{2}}{2} \\
& =\frac{\gamma }{\gamma -1}R{{T}_{\text{t}}}=\frac{\gamma +1}{2\left( \gamma -1 \right)}c_{\text{cr}}^{2} \\
\end{split}\]
从而可得
\[\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{\gamma +1}{2\gamma }c_{\text{cr}}^{2}-\frac{\gamma -1}{2\gamma }V_{1}^{2}\]
（5）
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}=\frac{\gamma +1}{2\gamma }c_{\text{cr}}^{2}-\frac{\gamma -1}{2\gamma }V_{2}^{2}\]
（6）
从连续方程（1）和法向动量方程（2）可得
\[{{V}_{1n}}-{{V}_{2n}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}\frac{1}{{{V}_{2n}}}-\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}\frac{1}{{{V}_{1n}}}\]
把（5）和（6）代入到上式中，整理可得
\[{{V}_{1n}}{{V}_{2n}}=c_{\text{cr}}^{2}-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{V}_{t}}^{2}\]
（7）
式（7）称为普朗特关系式，左右两端同时除以临界声速的平方，可以得到激波前后法向速度系数的关系为
\[{{\lambda }_{1n}}{{\lambda }_{2n}}=1-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\lambda _{t}^{2}\]
（8）
对于正激波，\(V_t=0\)，激波前后的速度系数互为倒数。对于斜激波，激波前后的法向速度系数的乘积小于1，从而波后的法向速度一定是亚声速的。
2. 状态参数的变化
由普朗特关系式（7），有
\[\begin{split}
{{V}_{1n}}{{V}_{2n}}& =c_{\text{cr}}^{2}-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{V}_{t}}^{2}=\frac{2\gamma }{\gamma +1}R{{T}_{\text{t}}}-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{V}_{t}}^{2} \\
& =\frac{2}{\gamma +1}c_{1}^{2}\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{V}_{t}}^{2} \\
& =\frac{2}{\gamma +1}c_{1}^{2}+\frac{\gamma -1}{\gamma +1}V_{1}^{2}-\frac{\gamma -1}{\gamma +1}{{V}_{t}}^{2} \\
& =\frac{2}{\gamma +1}c_{1}^{2}+\frac{\gamma -1}{\gamma +1}V_{1n}^{2} \\
\end{split}\]
两边同时除以\(V_{1n}^2\)，得
\[\begin{split}
\frac{{{V}_{2n}}}{{{V}_{1n}}}& =\frac{2}{\gamma +1}\frac{c_{1}^{2}}{V_{1n}^{2}}+\frac{\gamma -1}{\gamma +1} \\
& =\frac{2}{\left( \gamma +1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }+\frac{\gamma -1}{\gamma +1} \\
\end{split}\]
（9）
从连续方程（1）可知\({{{V}_{2n}}}/{{{V}_{1n}}}\;={{{\rho }_{1}}}/{{{\rho }_{2}}}\)，代入上式并整理，可以得到斜激波前后的密度比关系式
\[\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{\left( \gamma +1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }{2+\left( \gamma -1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }\]
（10）
从法向动量方程（2）和气体状态方程，可得
\[\begin{split}
\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}& =1+\frac{{{\rho }_{1}}V_{1n}^{2}-{{\rho }_{2}}V_{2n}^{2}}{{{p}_{1}}} \\
& =1+\frac{{{\rho }_{1}}}{{{p}_{1}}}V_{1n}^{2}\left( 1-\frac{{{V}_{2n}}}{{{V}_{1n}}} \right) \\
& =1+\gamma Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta \left( 1-\frac{{{V}_{2n}}}{{{V}_{1n}}} \right) \\
\end{split}\]
把式（9）代入上式中，可以得到斜激波前后的压力比关系式
\[\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}=\frac{2\gamma }{\gamma +1}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -\frac{\gamma -1}{\gamma +1}\]
（11）
由气体状态方程，有
\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}\cdot \frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}\]
把（10）和（11）代入上式，可以得到斜激波前后的温度比关系式
\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta \right)\left( \frac{2\gamma }{\gamma -1}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1 \right)}{\frac{{{\left( \gamma +1 \right)}^{2}}}{2\left( \gamma -1 \right)}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }\]
（12）
利用前面推导正激波关系时已经得出的关系
\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}={{\left( \frac{{{p}_{\text{2}}}}{{{p}_{\text{1}}}} \right)}^{\frac{1}{1-\gamma }}}{{\left( \frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}} \right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}\]
把（10）和（11）代入上式，整理可以得到斜激波前后的总压比关系式
\[\frac{{{p}_{\text{t,2}}}}{{{p}_{\text{t,1}}}}=\frac{{{\left[ \frac{\left( \gamma +1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }{2+\left( \gamma -1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta } \right]}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}}{{{\left( \frac{2\gamma }{\gamma +1}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -\frac{\gamma \text{-}1}{\gamma +1} \right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}}}\]
（13）
当激波角\(\beta ={{90}^{\circ }}\)时，上面的这些关系式就对应于正激波的关系式。另外，激波前的法向马赫数为\(M{{a}_{1n}}=M{{a}_{1}}\sin \beta \)，从上面的几个关系式中可以看出，这些关系式中的马赫数都是以\(Ma_1\sin \beta\) 的形式出现的，所以都可以写成\(M{{a}_{1n}}\)。这给我们一个启示，就是气体经过斜激波后状态参数的变化只与波前的法向马赫数有关，在这些关系式中使用法向马赫数后，它们的形式和正激波关系式一致。因此，在计算斜激波参数时，也可以先计算出波前的法向马赫数，再使用正激波关系式计算。
3. 马赫数的变化
已知激波前后总温不变，利用总静温关系式，可得激波前后的温比为
\[\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{{T}_{2}}}/{{{T}_{\text{t}}}}\;}{{{{T}_{1}}}/{{{T}_{\text{t}}}}\;}=\frac{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}}{1+\frac{\gamma -1}{2}Ma_{2}^{2}}\]
把（12）代入上式并整理，最后可得
\[Ma_{2}^{2}=\frac{Ma_{1}^{2}+\frac{2}{\gamma -1}}{\frac{2\gamma }{\gamma -1}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1}+\frac{Ma_{1}^{2}{{\cos }^{2}}\beta }{\frac{\gamma -1}{2}Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta +1}\]
（14）
当激波角时，上式就是正激波的关系式。
4. 气流偏角与激波角的关系
一个现实的问题是，气流经过斜激波后会朝激波方向偏转一个角度𝜹，如何从激波角𝜷计算这个偏转角𝜹呢？实际上这个问题的已知常常是反过来的，气流遇到障碍物需要偏转一个角度𝜹，所以才会产生一道角度为𝜷的激波。在前面的式（9）已经得出了激波前后法向速度之比，再加上切向速度相等的条件就可以计算出角度的关系。从图3进口的速度三角形分解中可以看出
\[\tan \beta =\frac{{{V}_{1n}}}{{{V}_{1t}}}\]
从出口的速度三角形分解可以看出
\[\tan \left( \beta -\delta \right)=\frac{{{V}_{2n}}}{{{V}_{2t}}}\]
上面两式相除，并注意到\({{V}_{1t}}={{V}_{2t}}\)，得到的关系式与式（9）比较，有
\[\frac{\tan \left( \beta -\delta \right)}{\tan \beta }=\frac{2}{\left( \kappa +1 \right)Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }+\frac{\kappa -1}{\kappa +1}\]
由三角学知识，有
\[\tan \left( \beta -\delta \right)=\frac{\tan \beta -\tan \delta }{1+\tan \beta \tan \delta }\]
由上面两式整理得
\[\tan \delta =\frac{Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta -1}{\left[ \frac{\kappa +1}{2}Ma_{1}^{2}-Ma_{1}^{2}{{\sin }^{2}}\beta +1 \right]\tan \beta }\]
（15）
式（15）给出了来流马赫数，气流转折角和激波角三者之间的关系，已知任何两个可以求出第三个。当气流偏转角𝜹无限接近于𝟎时，由（15）可以得出
\[\beta =\arcsin \frac{1}{M{{a}_{1}}}\]
由即激波角等于马赫角，意味着无限小的转角是一种小扰动，激波蜕化为马赫波，所以激波角等于马赫角。
如果转角不是突然转折的，而是有一定的圆角，则会产生一系列压缩波，这些压缩波相交后合成一道激波。每一道压缩波的角度可以用弱波的普朗特迈耶函数计算，而激波的角度用式（15）来计算。
图4给出了一种情况，来流马赫数为2，壁面的总转角为10°，用式（15）计算得到激波角为39.3°，用弱波方法计算得到第一道压缩波的角度为30°，最后一道压缩波与水平面的夹角为47.3°。可见激波的角度介于第一道和最后一道压缩波之间。
图4 圆弧转角处压缩波和激波的角度
从图4上的结果可以看到，壁面附近（用普朗特迈耶函数计算得到）的压缩波下游马赫数（\(Ma_2 \approx 1.65\)）与远离壁面处（用激波关系计算得到）的激波下游的马赫数（\(Ma_2 \approx 1.64\)）并不完全相等。这是因为气流通过弱压缩波是等熵流动，而通过激波则不是，弱压缩波和激波后的气流虽然形成了平行流动，静压相同，但总压并不相同，马赫数也就不同，气流的实际速度也不同。因此这里会存在一个剪切层，也称为滑移层，在压力波的反射和相交部分将进一步分析这个问题。
斜激波的倾斜角与来流马赫数以及气流偏转角两者都有关，不是一对一的关系，因此较为复杂，解决这一类的问题是经常使用图表法。根据式（15）可以把这三者的关系画成曲线，如图5和图6所示。
图5是以气流偏转角为横坐标，激波角为纵坐标的形式，每个特定的马赫数单独有一条曲线。图6是以马赫数为横坐标，激波角为纵坐标的形式，每个特定的气流偏转角单独有一条曲线。
图5 二维斜激波角度与气流转角的关系
图6 二维斜激波角度与马赫数的关系
可以看出，每一对特定的马赫数和气流偏转角都对应着两个不同的激波角。比如当来流马赫数为2.0，壁面偏转角为10°时，激波角有两个值，分别为39.3°和87.3°，实际的流动应该是那种情况呢？实际上，这两种情况都有可能发生，小的激波角对应较弱的激波，大的激波角对应较强的激波。因为弱激波和强激波产生的压升明显不同，会产生哪种激波取决于进出口的压力条件。对于在无限大空间内超声速运动的物体来说，其远前方和远后方气体的压力是相同的，而物体产生的压升受后方压力影响，因此不会很高，所以这时发生的都是弱激波。如果激波的后方有较强的阻碍，压力高于弱激波的条件，则可能会产生强激波，图5的右下角给出了这两种情况的示意图。常见的斜激波都是弱激波，如果发生了强激波，则激波一般不会是简单的斜激波，而是可能包含正激波和斜激波的曲线激波，而且未必是附体激波，可能会脱离物体前缘而成为脱体激波，这个内容将在下一节详细讨论。
式（15）是从激波角计算气流偏转角，而实际情况经常已知的是气流偏转角求激波角，这时使用该式并不方便，需要查图表或用电脑编程计算。实际上已经有人推导出了从偏转角计算激波角的显示关系式，其中最简洁的方法来自伊曼纽尔（Emanuel），他把式（15）转化为关于激波角正切的三次函数如下
\[\begin{split}
& \left( 1+\frac{\kappa -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)\tan \delta {{\tan }^{3}}\beta -\left( Ma_{1}^{2}-1 \right){{\tan }^{2}}\beta \\
& +\left( 1+\frac{\kappa +1}{2}M{{a}^{2}} \right)\tan \delta \tan \beta +1=0 \\
\end{split}\]
（16）
以\(\tan \beta \) 为自变量，此式的三个根中，一个为负数，不符合物理实际，另外两个为正数，分别对应弱激波和强激波，这两个根可以表示为
\[\tan \beta =\frac{Ma_{1}^{2}-1+2\xi \cos \left( \frac{4\pi \chi +\arccos \zeta }{3} \right)}{3\left( 1+\frac{\kappa -1}{2}Ma_{1}^{2} \right)\tan \delta }\]
（17）
其中的𝝃和𝜻分别为
\[\xi =\sqrt{{{\left( Ma_{1}^{2}-1 \right)}^{2}}-3\eta \left( 1+\frac{\kappa +1}{2}Ma_{1}^{2} \right){{\tan }^{2}}\delta }\]
（18）
\[\zeta =\frac{{{\left( Ma_{1}^{2}-1 \right)}^{3}}-9\eta \left( \eta +\frac{\kappa +1}{4}Ma_{1}^{4} \right){{\tan }^{2}}\delta }{{{\xi }^{3}}}\]
（19）
其中
\[\eta =1+\frac{\kappa -1}{2}Ma_{1}^{2}\]
式（17）中\(\chi =0\)时，表示强激波解，\(\chi =1\)时，表示弱激波解。
在推导式（17）时未引入任何附加的假设，因此，它与式（15）是完全等价的关系。当已知来流马赫数和壁面转角时，用式（17）来计算激波角显然更方便一些。
为了便于理解斜激波的倾斜角和气流偏转角的关系，现在假定有超声速气流经过一个二维楔形体，楔形体的半顶角就是气流的偏转角𝜹，来看激波角𝜷的变化。分两种情况来讨论这个问题，一个是固定来流马赫数，逐渐增加楔形体的顶角；另一个是固定楔形体顶角，逐渐增加来流的马赫数。
1. 固定来流马赫数，逐渐增加楔形体的顶角（图7）
参见图5，不同马赫数的曲线规律都相同，我们以\(Ma_1=2.0\)为例来分析。偏转角等于0时，激波角的一个解等于马赫角，即\(\theta =\mu =\arcsin \left( {1}/{2}\; \right)={{30}^{\circ }}\)，另一个等于90°。即一个对应着壁面的转折无限小产生的马赫波，另一个对应着上下游压差产生的正激波，这两种情况前面都讨论过了。
图7 固定来流马赫数，改变楔形体半顶角产生的激波（鼠标悬停或点击重放）
当楔形体的半顶角是有限大的小角度，比如10°时，激波角有两个值，分别为39.3°和83.7°。可以这样理解，半顶角从0°变为10°时，如果原来是弱马赫波，则其变为弱的斜激波，激波角从30°增大到39.3°，激波强度增加；如果原来是正激波，则其向后倾斜成为强的斜激波，角度从90°减小到83.7°。当半顶角增大到20°时，弱激波的角度增大到53.4°；而强激波的角度减小到74.3°。
当半顶角增大到22.97°时，弱激波和强激波的角度都变为64.7°，这时的强激波和弱激波合二为一。当半顶角再增加时，前缘附近的流动将无法满足斜激波的关系式，但可以满足正激波的关系式，气流经过正激波后变为亚声速，在前缘附近形成高压区，把激波推离物体，形成脱体激波。脱体激波只在前缘附近接近于正激波，在其两侧向后弯曲，这一段属于强的斜激波，再往两侧，激波进一步弯曲，激波角减小，成为弱的斜激波，其后的气流仍然是超声速的。
马赫数越大，则激波可以保持附体的半顶角就越大，当马赫数趋于无穷大时，这个最大的偏转角为45.58°，也就是说，对于半顶角大于45.58°的楔形体，激波必然是脱体激波。实际物体的前端一般都带有一定的圆角，所以激波总是脱体的，不过当这个区域很小的时候，经常可以忽略，按照附体斜激波计算。
1. 固定楔形体顶角，逐渐增加来流的马赫数（图8）
参见图6，不同半顶角的曲线规律都相同，我们这次来看 \(\delta =10^{\circ }\) 的情况。当来流马赫数从1.0开始增加时，一开始激波是脱体的，并且距离物体较远，随着马赫数的增加，脱体激波向物体靠拢，当马赫数等于1.42时，形成附体激波，这时的斜激波既是弱激波也是强激波，激波角是67.4°。
图8 固定楔形体顶角，改变来流马赫数产生的激波（鼠标悬停或点击重放）
马赫数继续增加，将根据背压条件可能产生强激波和弱激波两种情况，弱激波的激波角减小，强激波的激波角增大。当马赫数增加到3.0时，弱激波和强激波的激波角分别为27.4°和86.4°；当马赫数增加到8.0时，这两个角度分别为15.5°和87.8°；当马赫数趋于无穷大时，这两个角度分别为12.04°和87.96°。
在图5中，用不同的颜色标记了强激波和弱激波区域，它们的分界线是最大偏转角线，最大偏转角指在特定来流马赫数下可以保持激波附体的气流最大偏转角，楔形体半顶角大于此偏转角，激波就会脱体。最大偏转角线也可以说成是最小马赫数线，即在固定偏转角下，可以保持激波附体的最小马赫数，小于此马赫数激波就会脱体（可同时参见图6）。在最大偏转角（或最小马赫数）状态，激波角唯一。
图5中还画出了波后马赫数等于1的曲线，在这条曲线之上对应波后为亚声速，之下对应波后为超声速。可以看到此曲线与最大偏转角线并不一致，强激波后的气流速度一定是亚声速的，弱激波后的气流速度一般是超声速的，但也存在亚声速的情况。
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