📖 等截面变流量管流
有一类准一维流动是气体沿管道的流动过程中不断有新的气体从壁面小孔加入或有部分气体从壁面小孔流出。由于新加入的气体与原气体之间可能存在温差，并且两者的混合还会增加掺混损失，所以这个问题较为复杂，兼有换热管流和摩擦管流的特点。当换热和掺混作用可不略，只考虑流量变化和动量变化（新加入的气体与原气体的流速不同会产生动量交换）的影响时，这种流动称为变流量管流。
本节讨论的变流量管流有如下假设：忽略摩擦，与外界绝能，管道截面积保持不变，附加气流和主流是相同的气体且总温相同。并且假设流动满足一维流动，即掺混前和掺混后横截面上的气流参数都是均匀的。
1附加流量的影响
如图1所示，取虚线所示的控制体，微分形式的连续方程为
\[\frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}=\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}V}{V}\]
（1）
式中的是\(\dot{m}\)主流流量，\(\text{d}\dot{m}\)是附加流量。
图1 变流量管流的分析模型
根据图1的控制体受力和进出口动量，可以列出动量方程如下
\[pA-\left( p+\text{d}p \right)A=\left( \dot{m}+\text{d}\dot{m} \right)\left( \dot{m}+\text{d}V \right)-\dot{m}V-\text{d}\dot{m}{{V}_{\text{a},x}}\]
其中的\(V_{a,x}\)是附加气流的速度沿流向的分量。令\(y={V_{a,x}}/V\)，带入上式中，整理可得
\[\text{d}p+\rho V\text{d}V+\left( 1-y \right)\rho {{V}^{2}}\frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}=0\]
利用\(c^2=\gamma p/\rho\)，上式可变换为
\[\frac{\text{d}p}{p}+\gamma M{{a}^{2}}\frac{\text{d}V}{V}+\left( 1-y \right)\gamma M{{a}^{2}}\frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}=0\]
（2）
能量方程比较简单，因为已经假设了附加气流与主流的成份相同，总温也相同，所以总温保持不变，能量方程为
\[{{c}_{\text{p}}}\text{d}T+V\text{d}V=0\]
这和摩擦管流的能量方程是一样的，参考摩擦管流的能量方程部分，可以写为
\[\frac{\text{d}T}{T}+\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}\frac{\text{d}V}{V}=0\]
（3）
与之前的摩擦管流和换热管流类似，变流量管流还有如下几个关系式
\[\frac{\text{d}p}{p}=\frac{\text{d}\rho }{\rho }+\frac{\text{d}T}{T}\]
（4）
\[\frac{\text{d}Ma}{Ma}=\frac{\text{d}V}{V}-\frac{1}{2}\frac{\text{d}T}{T}\]
（5）
\[\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}=\frac{\text{d}p}{p}+\frac{\gamma M{{a}^{2}}}{1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}}}\frac{\text{d}Ma}{Ma}\]
（6）
\[\frac{\text{d}s}{{{c}_{\text{p}}}}=-\frac{\gamma -1}{\gamma }\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}\]
（7）
把作为自变量，从上述7个关系式可以得到下面7个参数的变化规律如下（推导与摩擦管流或换热管流部分类似，此处略）
\[\frac{\text{d}Ma}{Ma}=\frac{1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\left[ 1+\left( 1-y \right)\gamma M{{a}^{2}} \right]\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（8）
\[\frac{\text{d}V}{V}=\frac{1}{1-M{{a}^{2}}}\left[ 1+\left( 1-y \right)\gamma M{{a}^{2}} \right]\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（9）
\[\frac{\text{d}p}{p}=-\frac{\gamma M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\left[ 2\left( 1+\frac{\gamma -1}{2}M{{a}^{2}} \right)\left( 1-y \right)+y \right]\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（10）
\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }=-\frac{1}{1-M{{a}^{2}}}\left[ M{{a}^{2}}+\left( 1-y \right)\gamma M{{a}^{2}} \right]\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（11）
\[\frac{\text{d}T}{T}=-\frac{\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\left[ 1+\left( 1-y \right)\gamma M{{a}^{2}} \right]\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（12）
\[\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}=-\gamma M{{a}^{2}}\left( 1-y \right)\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（13）
\[\frac{\text{d}s}{{{c}_{\text{p}}}}=\left( \gamma -1 \right)M{{a}^{2}}\left( 1-y \right)\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（14）
上面各式中有两个影响因素，马赫数𝑴𝒂和速度比𝒚，因此不太好分析。比较常见的情况是附加气流的速度小于主流速度，即𝒚<1的情况。图2给出了当𝒚=0.5，附加流量为\(\text{d}\dot{m}=0.1\dot{m}\)时各参数的增量随马赫数的变化规律。
图2 不同马赫数下附加流量对气流参数的影响
从图2可以看到，亚声速时，附加流量使气流加速，压力很温度降低，总压减小，熵增加。从连续方程来理解，加入的流量使下游流量增加，而横截面积不变，总温不变，总压变化较小，根据连续方程
\[\dot{m}=K\frac{{{p}_{\text{t}}}}{\sqrt{{{T}_{\text{t}}}}}Aq\left( \lambda \right)\]
流量函数𝒒(𝝀)必然增加，亚声速对应加速，超声速对应减速。
从受力角度理解，流体的加减束是压差力的结果。亚声速时，由于加入的流体速度比主流低，对主流是一种阻碍，这类似于收缩管道壁面的作用，亚声速时使上游压力增高，对应加速，超声速时使下游压力增高，对应减速。
总温不变，总压变化较小，所以加速使温度和压力下降，减速使温度和压力增大。至于总压和熵的变化，则归因于不同流速的流体掺混产生，虽然忽略黏性，但假设两股流体在下游掺混均匀，这种均匀化就会带来熵的增加，与两个温度不同的物体之间的导热引起的熵增同理。
当附加流体的流速比主流大的时候，图2中的有些趋势是不同的，这种情况更少见一些，留给大家自己去分析。
2附加流量垂直于主流的情况
附加流量的速度相比主流可忽略的情况较为常见，这可以理解为附加流量的流速垂直于主流，\({V_{a,x}}=0\)，\(y=0\)，式（8）~（14）可以简化为下面各式
\[\frac{\text{d}Ma}{Ma}=\frac{\left( 1+\kappa M{{a}^{2}} \right)\left( 1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（15）
\[\frac{\text{d}V}{V}=\frac{1+\kappa M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（16）
\[\frac{\text{d}p}{p}=-\frac{2\kappa M{{a}^{2}}\left( 1+\frac{\kappa -1}{2}M{{a}^{2}} \right)}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（17）
\[\frac{\text{d}\rho }{\rho }=-\frac{\left( 1+\kappa \right)M{{a}^{2}}}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（18）
\[\frac{\text{d}T}{T}=-\frac{\left( \kappa -1 \right)M{{a}^{2}}\left( 1+\kappa M{{a}^{2}} \right)}{1-M{{a}^{2}}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（19）
\[\frac{\text{d}{{p}_{\text{t}}}}{{{p}_{\text{t}}}}=-\kappa M{{a}^{2}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（20）
\[\frac{\text{d}s}{{{c}_{\text{p}}}}=\left( \kappa -1 \right)M{{a}^{2}}\cdot \frac{\text{d}\dot{m}}{{\dot{m}}}\]
（21）
根据式（15）~（21）可以画出各参数随流量的变化。和换热管流类似，理论上让附加流体先流入再流出，就可以让主流从亚声速加速到超声速。图3给出了变流量管流中气流参数随增加流量或减小流量的变化规律，这些曲线是以亚声速为初始条件，通过先增加流量，再减小流量得到的，进口条件为
\[Ma=0.2,\text{ }T=1000\text{K},\text{ }p=100000\text{Pa},\text{ }A=0.01{{\text{m}}^{2}}\]
图3 变流量管流中气流参数随增加流量或减小流量的变化规律
可以看到，和换热管流类似，变流量管流也可以和变截面管流做类比，如图4所示。沿程增加流量类似于收缩，沿程减小流量则类似于扩张，增加流量使气流趋向于声速，减小流量则使气流远离声速。用先增加流量再减小流量的方式，理论上可以实现气流从亚声速加速到超声速，实际操作上比起拉瓦尔喷管要困难，但不像换热管流那样困难，技术上是可以实现的。超声速风洞中为了减小堵塞影响而采用开孔壁面就是一种变流量管流。
图4 变流量管流和变截面管流的类比
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