📖 气体的输运现象 — 1：黏性

当气体各部分的性质不均匀时，系统就处在非平衡状态下，这时系统会自发地向平衡状态发展，这种现象称为输运现象。一种常见的不平衡现象是压力不均匀。比如轮胎漏气了，空气就会源源不断地从轮胎中漏到大气中，直到轮胎中的气体压力等于大气压为止。再比如风都是从高压区吹向低压区，对应的也是一种从不平衡状态向平衡状态过渡的现象。

当不均匀的物理性质是流速、温度、密度时，对应的输运过程为内摩擦（即黏性）、热传导和扩散。

1宏观上的黏性

宏观上黏性体现为流体的摩擦力，从力学概念上来说，黏性主要体现为剪切力。流体受到外界剪切力时会发生流动，在流体内部会产生剪切应力来与外界剪切力平衡，这种性质就称为流体的黏性。

最早定量地研究液体黏性的人应该是牛顿
（Isaac Newton，1643—1727）
  英国物理学家、数学家。 [人物] 。1686年，牛顿通过实验测量了液体的黏性，并建立了描述流体内部摩擦力的“牛顿内摩擦定律”。实验是基于图1所示的模型进行的，保持下壁面静止，上面的平板水平匀速运动。由于流体与固体壁面存在附着力，挨着固体壁面的流体会黏在固体表面。与下壁面接触的流体保持静止，与上平板接触的流体以速度𝑼随之运动，形成线性分布的流场。

移动平板 固定平板
图1 牛顿的液体黏性实验

牛顿总结出的规律是：上平板所需的拖动力与其运动速度成正比，与两平板间的距离成反比，即

\[\frac{F}{A}\propto \frac{U}{L}\]

式中：𝑭为拖动平板的力；𝑨为平板和流体的接触面积；𝑼为上平板的运动速度；𝑳为两平板间的距离。

从这个实验总结的一般关系式是：平行流动中，任意两层流体之间的切应力可以写为

\[\tau =\mu \frac{\partial u}{\partial y}\] （1）

式中：𝝉为切应力；𝒖为流体的水平速度；𝒚 为垂直坐标；𝝁是一个描述流体黏性大小的系数，称为动力黏性系数或黏度，是流体黏性大小的度量。

不同流体的黏度差别很大，同一种流体的黏度则基本上只随温度变化。工程上使用的各种流体的黏度都是通过实验测得的，可以查表得到。

所有的气体和常见的黏性小的液体都满足式（1），这种流体称为牛顿流体，或线性流体。自然界中也存在着大量不满足式（1）的流体，这一类流体统称为非牛顿流体。

对于液体，分子之间有力的作用，如果两层液体之间的运动速度不同，上层速度快的分子在扫过下层速度慢的分子时，会通过吸引力和排斥力带动下层运动。过程中上层分子的动量会减小，下层分子的动量会增加，体现为两层之间的摩擦力，也就是黏性作用。如图2所示。

图2 液体黏性的微观原理

液体分子并不会安分地分层流动，而是会互相扩散。也就是说上层的分子会跑到下层去，下层的分子也会跑到上层去。这样，上层的分子进入下层后就会推动下层的分子，使之运动得快一些，而下层的分子跑到上层去后会拖累上层分子，使之速度减慢。

对于气体来说，分子之间几乎没有作用力，其内部压强产生的机理是分子之间频繁的碰撞产生的动量传递。这种碰撞不但可以产生压强这样的正应力，也可以产生黏性力这样的剪切力。

当各层分子的宏观运动速度不同时，比如上层速度快，下层速度慢时，上层的分子在热运动的作用下不断地跳入下层中，推动低速的分子运动，下层的分子也会不断地跳入上层中，拖累上层的分子使其减速。从宏观上看来，这种动量交换表现为上层和下层之间存在拖动作用，这就是气体的黏性作用。在液体中也存在这样的作用，但比起分子力来说可以忽略。在气体中，这种动量交换才是黏性的本质。图3显示了气体黏性的这种机理，其中上层的分子运动快，下层的分子运动慢，但它们都同时还在进行着热运动，互相交换很频繁，黏性也就因此产生了。

图3 气体黏性的微观原理

既然气体的黏性是由分子碰撞产生的，就可以用气体动理论推导出黏度关系式，下面是推导过程。

2微观的黏性推导

仍然用牛顿的黏性力实验模型，如图4所示，在内部取一个平行于流动方向的平面，其面积为𝐝𝑨。计算出在𝐝𝒕时间内有多少个分子穿过这个平面，就可以算出发生了多少动量交换，进而算出黏性力。

图4 气体黏性的微观推导模型

假设分子的平均热运动速度为\(\bar{v}\)，气体宏观向右的速度为𝒖，一般情况下𝒖远小于\(\bar{v}\)（大概对应于气体动力学中的低速不可压缩流动）。仍然把气体当作平衡态考虑，根据分子热运动的各向同性关系，会有1/6的分子从下向上穿过𝐝𝑨面。用𝒏𝐯表示气体单位体积的分子数，则在𝐝𝒕时间内，从下向上穿过𝐝𝑨面的分子数为

\[\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}t\]
图5 分子自由程与平面𝐝𝑨的关系

这些分子在穿过𝐝𝑨面之前的最后一次碰撞位置距𝐝𝑨面的平均距离可以认为是分子的平均自由程\(\bar{\lambda }\)。穿越𝐝𝑨面之前，这些分子位于\({{y}_{0}}-\bar{\lambda }\)处，设其具有的定向动量为\(m{{u}_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}}\)（定向动量的意思是不考虑分子热运动速度的气体整体沿某一方向的动量）。于是，在𝐝𝒕时间内，由于分子热运动，从下向上带到𝐝𝑨面上的定向动量为

\[{{I}_{1}}=\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\cdot m{{u}_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}}\]

同理，在𝐝𝒕时间内，由于分子热运动，从上向下带到𝐝𝑨面上的定向动量为

\[{{I}_{1}}=\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\cdot m{{u}_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}}\]

上面两式相减，就可以得到𝐝𝑨面下方气体的定向动量增量为

\[\begin{split} \text{d}I&={{I}_{2}}-{{I}_{1}} \\ \\ & =\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\cdot m{{u}_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}} \\ \\ & -\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\cdot m{{u}_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}} \\ \\ & =\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\text{d}A\text{d}t\left( {{u}_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}}-{{u}_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}} \right) \\ \end{split}\]

速度差可以用速度梯度表示

\[{{u}_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}}-{{u}_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}}={{\left( \frac{\text{d}u}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}2\bar{\lambda }\]

于是𝐝𝑨面下方气体的定向动量增量可以表示成

\[\text{d}I=\frac{1}{3}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\text{d}A\text{d}t{{\left( \frac{\text{d}u}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}\bar{\lambda }\]

这个动量增量是在上方气体的摩擦力𝐝𝒇作用下产生的，根据牛顿第二定律，有下式

\[\text{d}f=\frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\frac{1}{3}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }\text{d}A{{\left( \frac{\text{d}u}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}\]

剪切应力的定义为单位面积的力，即\(\bar{\lambda }\)，从而有

\[\tau =\frac{1}{3}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }{{\left( \frac{\text{d}u}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}\] （2）

这就是从微观分子运动推导得到的黏性剪切力表达式。

对比式（1）和（2），可以得到气体黏度与分子性质的关系

\[\mu =\frac{1}{3}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }\] （3）

从式（3）并不能直接得到很有用的结论，可以将其变换一下。方法就是把分子平均速度、单位体积分子数和分子自由程的表达式分别带入其中。现在把这些关系式重写如下

⚛ 分子平均速度

\[\overline{\left| v \right|}=\sqrt{\frac{8{{k}_{\text{B}}}T}{\pi m}}\]

⚛ 单位体积分子数

\[{{n}_{\text{v}}}=\frac{{{N}_{\text{A}}}p}{RT}\]

⚛ 分子自由程

\[\bar{\lambda }=\frac{RT}{\sqrt{2}\pi {{d}^{2}}{{N}_{\text{A}}}p}\]

把上面三个关系式带入到式（3）中，整理可得

\[\mu =\frac{2}{3{{d}^{2}}}\sqrt{\frac{m{{k}_{\text{B}}}T}{{{\pi }^{3}}}}\] （4）

可以看出，对于某一种气体来说，黏度只与温度有关，温度越高则黏度越大。

需要注意的是，式（3）是基于很多假设导出的，并不能精确地反映气体的黏度，实际工程使用的黏度数值是通过实验得到的。

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