📖 气体的输运现象 — 2：热传导
物体各部分温度不均匀时，内能会从高温处传递到低温处，这种现象叫做热传导，过程中所传递的内能量大小叫热量。
对固体来说，原子都固定在某个位置上振动，热传导就相当于相邻原子间振动动能的传递。振动慢的原子被振动快的原子带动而加快速度，温度就上升了。不过对于导体来说，还存在着大量可以自由移动的电子，电子的移动也产生能量传递的作用，这就是一般电的良导体也是热的良导体的原因。
流体的情况稍微复杂一些，因为流体的分子并不固定在某个位置，内能迁移的同时还伴随着分子的运动。不过，宏观上来说，固体和流体的热传导规律是一样的，都满足傅立叶
定律，即：单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，热量沿着温度降低的方向传递。傅立叶定律是傅立叶在1822年提出的一条热力学定律，是基于实验结果归纳总结的关系式。
\[{{\dot{q}}_{\text{n}}}=-\lambda \frac{\partial T}{\partial n}\]
（1）
式中，\({{{\dot{q}}}_{\text{n}}}\)为沿𝒏方向的单位面积的传热速率，𝝀为物质的导热系数。
对气体来说，热传导直接和气体分子的热运动相关，可以用类似于推导黏性系数的方式来导出气体的导热系数。
如图1所示的模型，两平板间充满宏观上静止的气体，上平板温度高，下平板温度低，就会形成向下的热传导。在内部取一个平行于上下平板的平面，其面积为𝐝𝑨。计算出在𝐝𝒕时间内有多少个分子穿过这个平面，就可以算出发生了多少内能交换，进而算出导热率。
图1 气体导热率推导的微观模型
假设分子的平均热运动速度为\({\bar{v}}\)，温差不大时，仍然可以把气体当作平衡态考虑，在𝐝𝒕时间内，从下向上穿过𝐝𝑨面的分子数为
\[\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\]
在𝐝𝒕时间内，由于分子热运动，从下向上带到𝐝𝑨面上的分子动能为
\[\begin{split}
{{E}_{\text{k1}}}&=\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\cdot \frac{1}{2}m\overline{v_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}^{2}} \\ \\
& =\frac{1}{12}{{n}_{\text{v}}}\bar{v}\text{d}A\text{d}t\cdot m\overline{v_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}^{2}} \\
\end{split}\]
同理，在𝐝𝒕时间内，由于分子热运动，从上向下带到𝐝𝑨面上的分子动能为
\[\begin{split}
{{E}_{\text{k1}}}&=\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}\cdot \text{d}A\cdot \bar{v}\text{d}t\cdot \frac{1}{2}m\overline{v_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}^{2}} \\ \\
& =\frac{1}{12}{{n}_{\text{v}}}\bar{v}\text{d}A\text{d}t\cdot m\overline{v_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}^{2}} \\
\end{split}\]
由于上部温度高，从上面到𝐝𝑨面的分子比起从下面到𝐝𝑨面的分子带有更多的动能，上面两式的差就是下方气体获得的内能增量，即
\[\begin{split}
\text{d}{{E}_{\text{k}}}&={{E}_{\text{k2}}}-{{E}_{\text{k1}}} \\ \\
& =\frac{1}{12}{{n}_{\text{v}}}\bar{v}\text{d}A\text{d}t\cdot m\overline{v_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}^{2}} \\ \\
& -\frac{1}{12}{{n}_{\text{v}}}\bar{v}\text{d}A\text{d}t\cdot m\overline{v_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}^{2}} \\ \\
& =\frac{1}{12}{{n}_{\text{v}}}\bar{v}\text{d}A\text{d}t\cdot m\left( \overline{v_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}^{2}}-\overline{v_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}^{2}} \right) \\
\end{split}\]
速度平方的差可以用速度平方的梯度表示
\[\left( \overline{v_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}^{2}}-\overline{v_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}^{2}} \right)={{\left( \frac{\text{d}\overline{{{v}^{2}}}}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}2\bar{\lambda }\]
于是𝐝𝑨面下方气体的内能增量可以表示为
\[\begin{split}
\text{d}{{E}_{\text{k}}}&=\frac{1}{12}{{n}_{\text{v}}}\bar{v}\text{d}A\text{d}t\cdot m\left( \overline{v_{{{y}_{0}}+\bar{\lambda }}^{2}}-\overline{v_{{{y}_{0}}-\bar{\lambda }}^{2}} \right) \\ \\
& =\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }\text{d}A\text{d}t{{\left( \frac{\text{d}\overline{{{v}^{2}}}}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}} \\
\end{split}\]
单位时间通过单位面积的内能就是傅立叶定律中的传热速率\({{{\dot{q}}}_{\text{n}}}\)，根据坐标定义，向上的导热为正，而本模型中由于上面温度高，热量是从上方传导到下方，所以导热率要带一个负号
\[\dot{q}=-\frac{\text{d}{{E}_{\text{k}}}}{\text{d}A\text{d}t}=-\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }{{\left( \frac{\text{d}\overline{{{v}^{2}}}}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}\]
（2）
根据气体动理论，从理想气体模型推导得到的温度与分子运动速度的关系为
\[\frac{1}{2}m\overline{{{v}^{2}}}=\frac{3}{2}{{k}_{\text{B}}}T\]
从这个关系式可以把式（2）中速度平方的梯度转化为温度梯度
\[{{\left( \frac{\text{d}\overline{{{v}^{2}}}}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}={{\left[ \frac{\text{d}({3{{k}_{\text{B}}}T}/{m}\;)}{\text{d}y} \right]}_{{{y}_{0}}}}=\frac{3{{k}_{\text{B}}}}{m}{{\left( \frac{\text{d}T}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}}\]
从这个关系式带入到式（2）中，可得
\[\begin{split}
\dot{q}&=-\frac{1}{6}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }\frac{3{{k}_{\text{B}}}}{m}{{\left( \frac{\text{d}T}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}} \\ \\
& =-\frac{1}{2}{{n}_{\text{v}}}\bar{\lambda }{{k}_{\text{B}}}\bar{v}{{\left( \frac{\text{d}T}{\text{d}y} \right)}_{{{y}_{0}}}} \\
\end{split}\]
（3）
对比式(3)和式（1），可以得出导热系数为
\[\lambda =\frac{1}{2}{{n}_{\text{v}}}\bar{\lambda }{{k}_{\text{B}}}\bar{v}\]
（4）
注意这个式子中的\({\bar{\lambda }}\)是分子平均自由程，和导热系数𝝀表示的不是一个东西。
根据内能的关系式，还可以得出导热系数与气体的定容比热容的关系。内能关系式为
\(U=m{{c}_{\text{v}}}T\) 和 \(U=\frac{3}{2}{{k}_{\text{B}}}T\)
从而有
\[{{k}_{\text{B}}}\text{=}\frac{2}{3}m{{c}_{\text{v}}}\]
把上式带入到（4）中，有
\[\lambda \text{=}\frac{1}{3}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }{{c}_{\text{v}}}\]
（5）
对比通过类似方法推导得到的黏性系数关系式
\[\mu \text{=}\frac{1}{3}{{n}_{\text{v}}}m\bar{v}\bar{\lambda }\]
可以得到导热系数与黏性系数的关系如下
\[\lambda =\mu {{c}_{\text{v}}}\]
（6）
可见，黏度大，热容量大的气体，导热系数也大。
─ ☕ ─
相关知识 👇
（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）